[題解]P1439 【模板】最長公共子序列

P1439 【模板】最長公共子序列

題意簡述

給出 \(1,2,…,n\) 的兩個排列 \(P_1\) 和 \(P_2\) ，求它們的最長公共子序列。

• 範圍限制：\(n \le 10^5\)。

樣例

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

輸出：3。

思路簡述

這道題看似是最長公共子序列，但是發現如果用\(O(n^2)\)的複雜度實現\(LCS\)就會時間超限。所以我們考慮從“\(P_1,P_2\)都是\(1,2,…,n\)的排列”來入手。

我們把每個\(P_1[i]\)都對映成\(i\)，相應的\(P_2\)也發生變化。比如樣例中把\(3\)都換成\(1\)，\(1\)都換成\(3\)。這樣\(P_1=\{1,2,3,4,5\},P_2=\{3,2,1,4,5\}\)。顯然結果不受影響。

這樣我們就把在\(P_2\)中找和\(P_1\)的最長公共子序列，轉化成了找\(P_2\)的最長上升子序列。可以用\(O(n\ log\ n)\)的時間複雜度過掉。

注意：不能記錄每一個位置最終會換到哪個位置，然後在輸入\(P_2\)後把每個值重新移動到那裡。這可能會影響結果。比如\(P_1=\{1,3,5,4,2\},P_2=\{5,4,2,1,3\}\)。

• 按正解應該是\(P_1=\{1,2,3,4,5\},P_2=\{3,4,5,1,2\}\)，答案\(3\)。
• 按這種方法是\(P_1=\{1,2,3,4,5\},P_2=\{5,3,4,1,2\}\)，答案\(2\)。

思考：這種最佳化方式只適用於沒有重複元素且兩序列元素集合相同的情況。

Code

點選檢視程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100010],b[100010];
int f[100010];
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int num;
		cin>>num;
		a[num]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int num;
		cin>>num;
		b[i]=a[num];
	}
	int len=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(b[i]>f[len]){
			f[++len]=b[i];
		}else{
			int p=lower_bound(f+1,f+1+len,b[i])-f;
			f[p]=b[i];
		}
	}
	cout<<len<<endl;
	return 0;
}