經典演算法題每日演練——最長公共子序列

一： 作用

       最長公共子序列的問題常用於解決字串的相似度，是一個非常實用的演算法，作為碼農，此演算法是我們的必備基本功。

二：概念

     舉個例子，cnblogs這個字串中子序列有多少個呢？很顯然有2⁷個，比如其中的cb,cgs等等都是其子序列，我們可以看出

子序列不見得一定是連續的，連續的那是子串。

     我想大家已經瞭解了子序列的概念，那現在可以延伸到兩個字串了，那麼大家能夠看出：cnblogs和belong的公共子序列嗎？

在你找出的公共子序列中，你能找出最長的公共子序列嗎？

從圖中我們看到了最長公共子序列為blog，仔細想想我們可以發現其實最長公共子序列的個數不是唯一的，可能會有兩個以上，

但是長度一定是唯一的，比如這裡的最長公共子序列的長度為4。

三：解決方案

列舉法

       這種方法是最簡單，也是最容易想到的，當然時間複雜度也是龜速的，我們可以分析一下，剛才也說過了cnblogs的子序列

個數有2⁷個 ，延伸一下：一個長度為N的字串，其子序列有2^N個，每個子序列要在第二個長度為N的字串中去匹配，匹配一次

需要O(N)的時間，總共也就是O(N*2^N)，可以看出，時間複雜度為指數級，恐怖的令人窒息。

動態規劃

      既然是經典的題目肯定是有最佳化空間的，並且解題方式是有固定流程的，這裡我們採用的是矩陣實現，也就是二維陣列。

第一步：先計算最長公共子序列的長度。

第二步：根據長度，然後透過回溯求出最長公共子序列。

現有兩個序列X={x₁,x₂,x_3，...x_i}，Y={y₁,y₂,y_3，....，y_i}，

設一個C[i,j]: 儲存X_i與Y_j的LCS的長度。

遞推方程為：

不知道大家看懂了沒？動態規劃的一個重要性質特點就是解決“子問題重疊”的場景，可以有效的避免重複計算，根據上面的

公式其實可以發現C[i,j]一直儲存著當前(X_i,Y_i)的最大子序列長度。

 1 using System; 2 namespace ConsoleApplication2 3 { 4     public class Program 5     { 6         static int[,] martix; 7  8         static string str1 = "cnblogs"; 9         static string str2 = "belong";10 11         static void Main(string[] args)12         {13             martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];14 15             LCS(str1, str2);16 17             //只要拿出矩陣最後一個位置的數字即可18             Console.WriteLine("當前最大公共子序列的長度為:{0}", martix[str1.Length, str2.Length]);19 20             Console.Read();21         }22 23         static void LCS(string str1, string str2)24         {25             //初始化邊界，過濾掉0的情況26             for (int i = 0; i = martix[i, j - 1])46                             martix[i, j] = martix[i - 1, j];47                         else48                             martix[i, j] = martix[i, j - 1];49                     }50                 }51             }52         }53     }54 }

圖大家可以自己畫一畫，程式碼完全是根據上面的公式照搬過來的，長度的問題我們已經解決了，這次要解決輸出最長子序列的問題，

我們採用一個標記函式Flag[i,j]，當

①：C[i,j]=C[i-1,j-1]+1  時 標記Flag[i,j]="left_up";    （左上方箭頭）

②：C[i-1,j]>=C[i,j-1]   時 標記Flag[i,j]="left";          （左箭頭）

③: C[i-1,j]

例如：我輸入兩個序列X=acgbfhk，Y=cegefkh。

 1 using System; 2  3 namespace ConsoleApplication2 4 { 5     public class Program 6     { 7         static int[,] martix; 8  9         static string[,] flag;10 11         static string str1 = "acgbfhk";12 13         static string str2 = "cegefkh";14 15         static void Main(string[] args)16         {17             martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];18 19             flag = new string[str1.Length + 1, str2.Length + 1];20 21             LCS(str1, str2);22 23             //列印子序列24             SubSequence(str1.Length, str2.Length);25 26             Console.Read();27         }28 29         static void LCS(string str1, string str2)30         {31             //初始化邊界，過濾掉0的情況32             for (int i = 0; i = martix[i, j - 1])53                         {54                             martix[i, j] = martix[i - 1, j];55                             flag[i, j] = "left";56                         }57                         else58                         {59                             martix[i, j] = martix[i, j - 1];60                             flag[i, j] = "up";61                         }62                     }63                 }64             }65         }66 67         static void SubSequence(int i, int j)68         {69             if (i == 0 || j == 0)70                 return;71 72             if (flag[i, j] == "left_up")73             {74                 Console.WriteLine("{0}: 當前座標:（{1},{2}）", str2[j - 1], i - 1, j - 1);75 76                 //左前方77                 SubSequence(i - 1, j - 1);78             }79             else80             {81                 if (flag[i, j] == "up")82                 {83                     SubSequence(i, j - 1);84                 }85                 else86                 {87                     SubSequence(i - 1, j);88                 }89             }90         }91     }92 }

由於直接繪圖很麻煩，嘿嘿，我就用手機拍了張：

好，我們再輸入兩個字串：

1         static string str1 = "abcbdab";2 3         static string str2 = "bdcaba";

透過上面的兩張圖，我們來分析下它的時間複雜度和空間複雜度。

時間複雜度：構建矩陣我們花費了O(MN)的時間，回溯時我們花費了O（M+N)的時間，兩者相加最終我們花費了O(MN)的時間。

空間複雜度：構建矩陣我們花費了O(MN)的空間，標記函式也花費了O(MN)的空間，兩者相加最終我們花費了O(MN)的空間。