子序列 vs 子串、子陣列、子區間

子序列 : 可以不連續
子串、子陣列、子區間 : 必須連續

 

1.最大連續子序[ 子串 ]和

53. 最大子序和

[ 題目描述 ]

給定一個整數陣列 nums ，找到一個具有最大和的連續子陣列（子陣列最少包含一個元素），返回其最大和。

示例:

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
輸出: 6
解釋: 連續子陣列 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。
進階:

如果你已經實現複雜度為 O(n) 的解法，嘗試使用更為精妙的分治法求解。

[ 解題思路 ]

 最大切片 greatest slice

dp[i] 是以nums[i]結尾的最大連續子序列和

狀態轉移方程
	如果dp[i-1]<=0,那麼dp[i]=num[i]
	如果dp[i-1]>0, 那麼dp[i]=dp[i-1]+num[i]
初始狀態
	dp[0]的值是nums[0]
最終的解
	最大連續子序和是所有dp[i]中的最大值max{dp[i]}		0 <= i <= nums.length

dp[i] 是以nums[i]結尾的最大連續子序列和
    1.max=dp[0]=nums[0]
    2.前1個 dp[i-1] 和0比較； <=0 dp[i] = nums[i],>0 dp[i] = dp[i-1] + nums[i];
    3.max=max(dp[i],max)

 

[ 程式碼實現 ]

	// _53_MaxSubArray_最大子序和
	static int maxSubArray1(int[] nums) {
		if (nums == null || nums.length == 0)
			return 0;
		int[] dp = new int[nums.length];
		//dp[0] = nums[0];
		int max = dp[0] = nums[0];
		for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
			int prev = dp[i - 1];
			if (prev <= 0) {	// dp[i-1] 以i-1位置結尾的最大連續子序和是負數，拖後腿
				dp[i] = nums[i];
			} else {
				dp[i] = prev + nums[i];
			}
			max = Math.max(dp[i], max);
		}
		return max;
	}

[ 效能分析 ]

時間複雜度 n
空間複雜度 n

2.最長上升子序列

300. 最長上升子序列

[ 題目描述 ]

給定一個無序的整數陣列，找到其中最長上升子序列的長度。

示例:

輸入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
輸出: 4 
解釋: 最長的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的長度是 4。
說明:

可能會有多種最長上升子序列的組合，你只需要輸出對應的長度即可。
你演算法的時間複雜度應該為 O(n2) 。
進階: 你能將演算法的時間複雜度降低到 O(n log n) 嗎?

1.max=dp[0]=1
2.當前dp[i]=1; 遍歷j<=i得到前j-1個， 如果num[i] <= num[j] continue , dp[i]=max(dp(i),dp(j)+1)
3.max=max(dp[i],max)

[ 解題思路 ]

num[i] 以i為結尾的最長上升子序列 前

1.狀態初始值
	dp[0]=1
	所有的dp[i]都初始化為1

2.遍歷dp  0 =< j <i
	2.1當num[i]>num[j]
		nums[i]可以拼在num[j]後面，形成一個比dp[j]更長的上升子序列，長度為dp[j]+1
		dp[i] = max{ dp[i],dp[j]+1 }
	2.2當num[i]<num[j]
		num[i]不能拼在num[j]後面，跳過此次遍歷continue
3.max=max(dp[i],max)

 

[ 程式碼實現 ]

	static int lengthOfLIS1_(int[] nums) {
		if (nums == null || nums.length == 0)
			return 0;
		int[] dp = new int[nums.length];
		int max = dp[0] = 1;
		for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
			dp[i] = 1;
			for (int j = 0; j < i; j++) {	// 獲得dp[i]
				if (nums[i] <= nums[j])
					continue;
				dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
			}
			max = Math.max(dp[i], max);
		}
		return max;
	}

[ 效能分析 ]

時間複雜度 n2
空間複雜度 n

3.最長公共子序列

1143. 最長公共子序列

[ 題目描述 ]

給定兩個字串 text1 和 text2，返回這兩個字串的最長公共子序列的長度。

一個字串的 子序列 是指這樣一個新的字串：它是由原字串在不改變字元的相對順序的情況下刪除某些字元（也可以不刪除任何字元）後組成的新字串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。兩個字串的「公共子序列」是這兩個字串所共同擁有的子序列。

若這兩個字串沒有公共子序列，則返回 0。

 

示例 1:

輸入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
輸出：3  
解釋：最長公共子序列是 "ace"，它的長度為 3。
示例 2:

輸入：text1 = "abc", text2 = "abc"
輸出：3
解釋：最長公共子序列是 "abc"，它的長度為 3。
示例 3:

輸入：text1 = "abc", text2 = "def"
輸出：0
解釋：兩個字串沒有公共子序列，返回 0。
 

提示:

1 <= text1.length <= 1000
1 <= text2.length <= 1000
輸入的字串只含有小寫英文字元。

[ 解題思路 ]

假設dp(i,j)是 (nums1前i個元素)與(nums2前j個元素)的最長公共子序列長度。

1.假設2個序列分別是nums1 nums2
	i [0,nums1.length]
	j [0,nums2.length]
2.假設dp(i,j)是 (nums1前i個元素)與(nums2前j個元素)的最長公共子序列長度。
				# dp(i,j)是以num1[i-1],nums2[j-1]結尾的最長公共子串的長度。或者說是前i-1 j-1個元素最長公共子序列
	dp(i,0)、dp(0,j)初始值均為0
	如果nums1[i=1]=nums2[j-1],那麼dp(i,j)=dp(i-1,j-1)+1
	如果nums1[i=1]!=nums2[j-1],那麼dp(i,j)=max{ dp(i-1),(j-1) }

 

[ 程式碼實現 ]

	static int lcs2(int[] nums1, int[] nums2) {
		if (nums1 == null || nums1.length == 0)
			return 0;
		if (nums2 == null || nums2.length == 0)
			return 0;

		int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
		// i=0 或者j=0 時，dp=0。故，從1開始計算就好
		for (int row = 1; row <= nums1.length; row++) {	// 注意：此處是 <=
			for (int col = 1; col <= nums2.length; col++) {
				if (nums1[row - 1] == nums2[col - 1]) {	//相等  左上
					dp[row][col] = dp[row - 1][col - 1] + 1;
				} else {							//不相等 上、左
					dp[row][col] = Math.max(dp[row - 1][col], dp[row][col - 1]);
				}
			}
		}
		return dp[nums1.length][nums2.length];	// dp[i][j] nums1的前i個元素，即前nums1.length個元素。故dp的長度為nums1.length+1
	}

[ 效能分析 ]

空間換時間，多了空間的消耗
空間複雜度 m*n
時間複雜度 m*n

4.最長公共子串

[ 題目描述 ]

最長公共子序列的變形

[ 解題思路 ]

假設dp(i,j)是以str[i-1],str2[j-1]結尾的最長公共子串的長度

1.假設2個字串分別是str1 str2
	i [1,str1.length]
	j [j,str2.length]
2.假設dp(i,j)是以str[i-1],str2[j-1]結尾的最長公共子串的長度
	dp(i,0) dp(0,j)初始值為0
	如果str1[i-1]=str2[j-1],那麼dp(i,j)=dp(i-1,j-1)+1
	如果str1[i-1]!=str2[j-1],那麼dp(i,j)=0
3.最長公共子串的長度是所有dp(i,j)中的最大值 max{ dp(i,j) }

[ 程式碼實現 ]

	// LCSubstring_最長公共子串  連續
	static int lcs1(String str1, String str2) {
		if (str1 == null || str2 == null)
			return 0;
		char[] chars1 = str1.toCharArray();
		if (chars1.length == 0)
			return 0;
		char[] chars2 = str2.toCharArray();
		if (chars2.length == 0)
			return 0;
		int[][] dp = new int[chars1.length + 1][chars2.length + 1];
		int max = 0;
		for (int i = 1; i <= chars1.length; i++) {
			for (int j = 1; j <= chars2.length; j++) {
				if (chars1[i - 1] != chars2[j - 1])
					continue;						// 陣列預設就是0
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
				max = Math.max(dp[i][j], max);
			}
		}
		return max;
	}

[ 效能分析 ]