[動態規劃] 六、最長迴文子串

題目

給定一個字串 s，找到 s 中最長的迴文子串。你可以假設 s 的最大長度為1000。
示例 1：輸入: “ABCDDCEFA”。輸出: “CDDC”。
迴文子串就是一個字串從左到右讀和從右到左讀是完全一樣的，比如 “a”、“aba”、“abba”。
條件
字串：ABCDDCEFA

動態規劃問題建模階段

i是終止字元，j是起始字元

i結束\j開始	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	1
1	0	1
2	0	0	1
3	0	0	0	1
4	0	0	0	1	1
5	0	0	1	0	0	1
6	0	0	0	0	0	0	1
7	0	0	0	0	0	0	0	1
8	0	0	0	0	0	0	0	0	1

規律：
d[0][0] = 1
d[4][3] = 1  表示字串從str[3]到str[4] = DD
d[5][2] = 1  表示字串從str[2]到str[5] = CDDC

由此可見，當子串兩端的字元str[i]=str[j]時，再判斷去掉兩端字元的子串d[i-1][j+1]是否是迴文。
如果是迴文，即d[i-1][j+1]=1，則d[i][j]是迴文

動態規劃三個重要的概念

最優子結構：
當str[8]=str[0]時，判斷d[1][7]，即從str[1]到str[7]是否是迴文

邊界：
d[0][0] = 1
轉態轉移公式：
d[i][j] = 1 , i-j<3, str[i]=str[j] 因為小於3個字元一定是迴文，例 A、AA、ABA
d[i][j] = d[i-1][j+1] , i-j>3, str[i]=str[j]

動態規劃求解問題階段

<?php

namespace app\index\controller;

// 動態規劃求解問題階段：
class Index 
{
    /**
     * 動態規劃（Dynamic Programming）
     * 時間複雜度：O(n²)
     * 空間複雜度：O(n²)
     */
    public function test()
    {
        $str        = 'babad';
        $palindrome = [];         // 儲存“起始字元到終止字元”是否是迴文，1是，0否
        $max_len    = 1;          // 儲存最長迴文子串長度
        $start_char = 0;          // 儲存最長迴文子串的起始位置
        $str_len    = strlen($str);

        // 迴圈字串, i是終止字元
        for ($i=0; $i<$str_len;$i++) {

            // 迴圈i終止字元的每種長度情況，j是起始字元
            for ($j=0;$j<$i;$j++) {

                // 先賦初始值，供後面判斷 $max_len 時使用
                $palindrome[$i][$j] = 0;

                // 字串兩頭相等，根據三種情況判斷是否為迴文
                if ($str[$i] == $str[$j]) {
                    // 情況一：如果只有一個字元：i-j = 0；（例 A） 在陣列對角線，值全為1，可寫可不寫
                    // 情況二：如果有兩個字元：  i-j = 1；（例 AA）
                    // 情況三：如果有三個字元：  i-j = 2；（例 ABA）
                    // 這三種情況都為迴文
                    if ($i-$j < 3) {
                        $palindrome[$i][$j] = 1;
                    } else {
                        // 情況四：如果子串長度大於3，則判斷 $palindrome[i-1][j+1] 是否為1。(去兩端的字串)
                        if ($palindrome[$i-1][$j+1]) {
                            $palindrome[$i][$j] = 1;
                        }
                    }

                    // 如果是迴文，且其長度比$max_len大，則更新$max_len值
                    if ($i-$j+1>$max_len && $palindrome[$i][$j]) {
                        $max_len = $i-$j+1;
                        $start_char = $j;
                    }
                }
            }
        }
        echo $max_len . "</br>";
        echo $start_char;
    }
}

參考：最長迴文子串

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