審題

給定一個字串 s，找到 s 中最長的迴文子串。你可以假設 s 的最大長度為 1000。

示例 1：

輸入: "babad"
輸出: "bab"
注意: "aba" 也是一個有效答案。

示例 2：

輸入: "cbbd"
輸出: "bb"

我最開始感覺這道題乍一看有些懵，腦海裡能想到的演算法就是$O(n^2)$的暴力解法，還嫌演算法複雜度太高，但是事實上暴力搜尋的複雜度是要達到$O(n^3)$的，也就是說左邊界，右邊界和子串的計算移動都是與$n$有關的。那麼苦思冥想30min後依舊沒想明白，看到了題解才發現一個早有耳聞但是從未了解過的老朋友:動態規劃。

那麼這道題為什麼要用動態規劃來解呢？首先就是這個題的形式就很動規，它一個迴文子串的子串一定是迴文子串，因此這可以用劃分子問題的思想進行解答。

程式碼實現

在確定了動態規劃的實現方法以後，我們就有了一個關係，即對於字串$s[i,j]$即從第$i$個位置到第$j$個位置的字串（包含頭尾），我們知道如果$s[i,j]$是迴文子串，那麼$s[i+1,j-1]$一定也是迴文子串，並且$s[i]$要等於$s[j]$。自此我們有了第一個關係。

有兩個地方需要格外注意一下：

1. 特判：當字元字串的長度為0或者為1的時候，$i+1$是小於$j-1$的，因此需要增加兩個特判，對於$l=0$的情況，dp必得1，對於$l=1$的情況，如果$s[i]==s[j]$，也有dp=1，否則dp=0。

2. 邊界條件的判斷:因為我們是自底向上進行狀態的轉移的，因此外迴圈的字串長度要從小到大。而內迴圈中因為有$i+l$這一項，我們的內迴圈終止條件就是$i+l<n$。

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s){
        int n = s.size();
        string ans;
        vector< vector<int> > dp(n, vector<int>(n));
        for ( int l=0; l<n; l++ ) {
            for ( int i=0; i+l<n; i++ ) {
                int j = i+l;
                if ( l == 0 ) dp[i][j] = 1;
                else if ( l == 1 ) dp[i][j] = s[i] == s[j];
                else {
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] && s[i] == s[j];
                }
                if ( dp[i][j] == 1 && l+1 > ans.size() ) ans = s.substr(i, l+1);
            }
        }
        return ans;
    }
};

反思

這道題運用了動態規劃來求解，雖然複雜度還是高了一點，但是思路無疑是我們需要掌握的，動態規劃的題有的很難，但是大套路基本就幾種，因此，想要掌握動態規劃還需要至少10道題的練習。