演算法之字串——最長迴文子串

it_was發表於2020-10-02
演算法字串

難度中等:smirk:
給定一個字串 s，找到 s 中最長的迴文子串。你可以假設 s 的最大長度為 1000。

眾所周知，迴文子串是以某一軸為中心，左右呈映象對稱，如何找到 s 中最長的迴文子串呢？

暴力破解是最容易想到的一種解法，即以每個字元為中心，向左右兩邊擴，看擴出去的範圍有多大，同時記錄一個最大值。比如 s = "abhba"，最大回文子串即以 字元 h 為中心，左右擴到底。然而這種方法有個問題，無法應對偶迴文:cold_sweat:，當 s ="abba"的時候，以每個字元為中心擴結果得到的最長迴文子串長度為 1 ！明顯是錯誤的！
所以為了解決上述無法應對偶迴文的情況，需要引入特殊字元來解決，即在每一個字元左右新增上一個特殊字元進行佔位:smiley:，這樣就可以解決這個問題
上述的 s ="abba" 就變成了 s ="#a#b#b#a#"，這樣我們就可以透過暴力法解決！

以下為暴力法的程式碼

public char[] getSPString(String s){
        int len = s.length();
        char[] arr = new char[2 * len + 1];
        for(int i = 0 ;i < len;i++){
            arr[2 * i] = '#';
            arr[2 * i + 1] = s.charAt(i);
        }
        arr[2 * len] = '#';
        return  arr;
    }
    public String longestPalindrome(String s) {
        if(s == null || s.length() <= 1){
            return s;
        }
        char[] res = getSPString(s);
        int len = res.length;
        int C = 0;   //最長迴文串中心
        int max = 1;  //最長迴文串長度

        for(int i = 0; i< len;i++){
            int j = 1;
            while(i - j >=0 && j + i < len){
                if(res[i - j] ==  res[i + j]){
                    j++;
                }else{
                    break;
                }
            }
            if(2 * j - 1 > max){
                C = i;
                max = 2 * j - 1;
            }   
        }
        return s.substring((C - max/2)/2 , (C+ max/2)/2);
    }

演算法之字串——最長迴文子串

暴力法的缺點在於，最壞情況下時間複雜度趨近於 O(n^2)!
而馬拉車演算法的關鍵在於透過定義一個最大右邊界，不斷地判斷當前位置地情況，然後尋找當前位置地對稱點，利用之前已經求出的資訊，加速整個判斷過程！注意：此過程也需要預先轉換成特殊字串進行處理！！！

:one:首先我們定義幾個概念：:eyes: :eyes: :eyes:
  1. 最大回文右邊界 R ：即當前字串中的迴文子串達到的最右位置。例如 “#a#b#c#b#a#c#”，當到達第一個字元 ‘c’ 時，最大回文右邊界為下標10！
  2. 最大回文半徑 max_Radius 和 存放對應位置的最大回文半徑arr[ ] 陣列： 迴文半徑就是當前迴文中心到達右邊界或者左邊界的距離。如下圖所示

演算法之字串——最長迴文子串

  1. 迴文中心 C ：即當前最大右邊界R的情況下，迴文串的中心，與最大會問右邊界互為對應關係。
:two:接下來就是加速過程！
  1. 當前位置 i 在最大回文右邊界 R 的外邊——以當前位置為中心往外擴，並更新 R 和 C
    當遍歷到第一個字元’#’時，發現不能往外擴，即最大回文右邊界就是下標 0 ，然後碰到 字元 ‘a’的時候，發現 i 大於 R ，故需要往外擴，然後發現能擴出去，即此時 R 到了下標 2！ C 也更新為了 i ！

演算法之字串——最長迴文子串

  1. 當前位置 i 在最大回文右邊界 R 的裡邊——判斷 i 的對稱點 i’ 的情況！
    此時需要分三種情況：

    • 以 i’ 為中心的最大回文子串完全在最大左邊界即將最大右邊界R以C為中心對稱過去）裡邊！如下圖，此時 i 位置的最大回文半徑 與 i’ 一樣，都為 2！此時時間複雜度為O(1)

    • 以 i’ 為中心的最大回文子串超出最大左邊界！如下圖所示，此時 i’ 的迴文串已經超出 L 到達了 左邊的 K 字元，那麼此時 i 的最大回文半徑就是 R - i ，為什麼此時不用擴呢？其實可以證明，如果此時可以擴，那麼只有一種情況， 最右邊的不是 E 而是 K ，但是如果是 K 的話，此時違反了 R 的最大回文右邊界 的定義！即 R 一定至少大於等於最右邊 E 的位置！所以此時 L 的左邊一個字元和 R 右邊的字元一定不等! 此時時間複雜度為O(1)

    • 以 i’ 為中心的最大回文子串正好在最大左邊界上！即壓線！如下圖所示。此時以i位置為中心，以arr[i’]為半徑，需要再往外擴！因為這時不確定 R 右邊的字元是否滿足條件！

綜上，情況就是分為兩大類，i 在迴文右邊界裡邊和外邊！需要擴的兩種情況，即 i 在 R 外邊和壓線，都是在不斷地往右推動這個 R，所以整個過程總起來看就是在不斷地往右推動著 R 前進，因為 R最多能到最右邊，故整體的時間複雜度為 O(n)級別的！！！！！:boom: :boom: :boom:

下面直接上程式碼

public void manacher(String s) {
        if (s == null || s.length() <= 1) {
            return;
        }
        char[] sp = getSPString(s);
        int len = sp.length;
        int[] arr = new int[sp.length]; //最長迴文半徑陣列
        int R = -1; //最大回文右邊界
        int C = -1; //最大回文中心
        int max = -1; // 最長迴文半徑
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            arr[i] = R > i ? Math.min(arr[2 * C - i] , R - i) : 1;
            while(i + arr[i] < len && i - arr[i] >= 0){
                if(sp[i + arr[i]] == sp[i - arr[i]]){
                    arr[i] ++;
                } else{
                    break;
                }
            }
            if(i + arr[i] > R){
                R = i +arr[i];
                C = i;
            }
            if(max < arr[i]){
                max  = arr[i];
                center = i;
            }
        }
    }

演算法之字串——最長迴文子串

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