每日一算--最長迴文子串

流浪的先知發表於2019-04-19

題目

給定一個字串 s，找到 s 中最長的迴文子串。你可以假設 s 的最大長度為 1000。

示例1

輸入: "babad"
輸出: "bab"
注意: "aba" 也是一個有效答案。
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示例2

輸入: "cbbd"
輸出: "bb"
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示例3

輸入: "cbad"
輸出: ""
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日常找規律

一句話解釋迴文的意思是正著念和倒著念一樣，如：上海自來水來自海上，山西運煤車煤運西山等，瞬間感覺自己在聽郭德綱相聲

  • 暴力法將選出所有子字串可能的開始和結束位置，並檢驗它是不是迴文。
  • 改進暴力法，我們首先觀察如何避免在驗證迴文時進行不必要的重複計算。考慮 “ababa” 這個示例。如果我們已經知道“bab”是迴文，那麼很明顯，“ababa” 一定是迴文，因為它的左首字母和右尾字母是相同的得出動態方程
  • P(i,i)=true P(i,i+1)=(Si == Si+ 1)

實現方式

暴力搜尋

時間複雜度 O(N^3)

const longestPalindrome = function(s) {
  if (!s) return ''
  let longest = s[0]
  let str, i, j, len
  const isPalindrom = function (left, right) {
    while (left < right && s[left] === s[right]) {
      left++;
      right--;
    }
    return left >= right;
  }
  for (len = 2; len <= s.length; len++) {
    for (i = 0; i < s.length; i++) {
      j = i + len - 1;
      if (isPalindrom(i, j)) {
        str = s.slice(i, j + 1);
        if (longest.length < str.length) longest = str;
      }
    }
  }
  return longest
}
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動態規劃

時間複雜度 O(N^3) 空間複雜度 O(N^2)

迴文字串定位為: dp(start,end)

  • start是迴文字串的起始位置
  • end 是迴文字串的截止位置
  • 迴文字串要滿足的基本條件為： str[start] == str[end] 並且 dp(start+1,end-1) 也為迴文字串
  • 邊界條件為：
    start-end=0, 例如:"a"
    start-end=1 && str[start] == str[end],例如："aa","bb"
const longestPalindrome = function(s) {
  let i, j, len
  const isPalindrom = new Array(s.length);
  for (i = 0; i < s.length; i++) {
    isPalindrom[i] = new Array(s.length).fill(false);
  }
  let maxLen = 1, longestBegin = 0;
  for (i = 0; i < s.length; i++) {
    isPalindrom[i][i] = true;
    if (i < s.length - 1 && s[i] === s[i + 1]) {
      isPalindrom[i][i + 1] = true;
      maxLen = 2;
      longestBegin = i;
    }
  }
  for (len = 3; len <= s.length; len++) {
    for (i = 0; i < s.length; i++) {
      j = len + i - 1;
      if (s[i] === s[j] && isPalindrom[i + 1][j - 1]) {
        isPalindrom[i][j] = true;
        maxLen = len;
        longestBegin = i;
      }
    }
  }
  return s.slice(longestBegin, longestBegin + maxLen);
}
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優化降低空間複雜度

空間複雜度降到 O(1)，只存找到的最長迴文串即可。列舉軸心位置，並進行擴充套件。如果是迴文，則軸心兩邊的字元應該對稱相等。需要考慮到長度奇偶情況的不同，如果是奇數長度，軸心就是一個字元；如果是偶數長度，軸心則不在字串中

const longestPalindrome = function(s) {
  if (!s) return '';
  let longest = s[0];
  let expandAroundCenter = function (left, right) {
    while (left >= 0 && right < s.length && s[left] === s[right]) {
      left--;
      right++;
    }
    return s.slice(left + 1, right);
  }
  for (let i = 0; i < s.length; i++) {
    let odd = expandAroundCenter(i, i);
    if (odd.length > longest.length) longest = odd;
    let even = expandAroundCenter(i, i + 1);
    if (longest.length < even.length) longest = even;
  }
  return longest;
}
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優化降低時間複雜度

相比降低空間複雜度，降低時間複雜度要難得多。這裡有一個 O(N) 時間複雜度的演算法，叫做 Manacher 演算法

const longestPalindrome = function(s) {
  s = '^#' + s.split('').join('#') + '#$';
  let radius = new Array(s.length).fill(0);
  let C = 0, centerIndex = 0, maxRight = 0, maxLen = 0;

  for (let i = 1; i < s.length - 1; i++) {
    # 計算初始迴文半徑, i' = 2 * C - i
    radius[i] = (maxRight > i) ? Math.min(maxRight - i, radius[2 * C - i]) : 0;
    # 擴充套件半徑
    while (s[i + 1 + radius[i]] && s[i - 1 - radius[i]] && s[i + 1 + radius[i]] === s[i - 1 - radius[i]]) radius[i]++;
    # 更新當前搜尋的最大右邊界和位置
    if (i + radius[i] > maxRight) {
      C = i;
      maxRight = i + radius[i];
    }
    # 更新最大回文串長度及位置
    if (maxLen < radius[i]) {
      maxLen = radius[i];
      centerIndex = i;
    }
  }
  return s.slice((centerIndex - maxLen), (centerIndex + maxLen + 1)).split('#').join('');
}
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總結

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