《每日一題》842. Split Array into Fibonacci Sequence 將陣列拆分成斐波那契序列

形式上，斐波那契式序列是一個非負整數列表 F，且滿足：

• 0 <= F[i] <= 2^31 - 1，（也就是說，每個整數都符合 32 位有符號整數型別）；
• F.length >= 3；
• 對於所有的0 <= i < F.length - 2，都有 F[i] + F[i+1] = F[i+2] 成立。

另外，請注意，將字串拆分成小塊時，每個塊的數字一定不要以零開頭，除非這個塊是數字 0 本身。

返回從 S 拆分出來的任意一組斐波那契式的序列塊，如果不能拆分則返回 []。

 

示例 1：

輸入："123456579"
輸出：[123,456,579]

示例 2：

輸入: "11235813"
輸出: [1,1,2,3,5,8,13]

示例 3：

輸入: "112358130"
輸出: []
解釋: 這項任務無法完成。

示例 4：

輸入："0123"
輸出：[]
解釋：每個塊的數字不能以零開頭，因此 "01"，"2"，"3" 不是有效答案。

示例 5：

輸入: "1101111"
輸出: [110, 1, 111]
解釋: 輸出 [11,0,11,11] 也同樣被接受。

 

提示：

1. 1 <= S.length <= 200
2. 字串 S 中只含有數字。

回溯+剪枝

使用列表儲存拆分出的數，回溯過程中維護該列表的元素，列表初始為空。遍歷字串的所有可能的字首，作為當前被拆分出的數，然後對剩餘部分繼續拆分，直到整個字串拆分完畢。

根據斐波那契式序列的要求，從第 $3$ 個數開始，每個數都等於前 $2$ 個數的和，因此從第 $3$ 個數開始，需要判斷拆分出的數是否等於前 $2$ 個數的和，只有滿足要求時才進行拆分，否則不進行拆分。

回溯過程中，還有三處可以進行剪枝操作。

• 拆分出的數如果不是 $0$，則不能以 $0$ 開頭，因此如果字串剩下的部分以 $0$ 開頭，就不需要考慮拆分出長度大於 $1$ 的數，因為長度大於 $1$ 的數以 $0$ 開頭是不符合要求的，不可能繼續拆分得到斐波那契式序列；

• 拆分出的數必須符合 $32$ 位有符號整數型別，即每個數必須在 [0,231−1][0,2^{31}-1][0,231−1] 的範圍內，如果拆分出的數大於 231−12^{31}-1231−1，則不符合要求，長度更大的數的數值也一定更大，一定也大於 231−12^{31}-1231−1，因此不可能繼續拆分得到斐波那契式序列；

• 如果列表中至少有 $2$ 個數，並且拆分出的數已經大於最後 $2$ 個數的和，就不需要繼續嘗試拆分了。

當整個字串拆分完畢時，如果列表中至少有 $3$ 個數，則得到一個符合要求的斐波那契式序列，返回列表。如果沒有找到符合要求的斐波那契式序列，則返回空列表。

Python

class Solution:
    def splitIntoFibonacci(self, S: str) -> List[int]:
        def backtrack(index: int):
            if index == len(S):
                return len(ans) >= 3
            curr = 0
            for i in range(index, len(S)):
                if i > index and S[index] == "0":
                    break
                curr = curr * 10 + ord(S[i]) - ord("0")
                if curr > 2 ** 31 - 1:
                    break
                if len(ans) < 2 or curr == ans[-2] + ans[-1]:
                    ans.append(curr)
                    if backtrack(i + 1):
                        return True
                    ans.pop()
                elif len(ans) > 2 and curr > ans[-2] + ans[-1]:
                    break
            return False

        ans = list()
        backtrack(0)
        return ans

複雜度分析

• 時間複雜度：O(nlog⁡2C)O(n \log^2 C)O(nlog2C)，其中 $n$ 是字串的長度，$C$ 是題目規定的整數範圍 231−12^{31}-1231−1。在回溯的過程中，實際上真正進行「回溯」的只有前 $2$ 個數，而從第 $3$ 個數開始，整個斐波那契數列是可以被唯一確定的，整個回溯過程只起到驗證（而不是列舉）的作用。對於前 $2$ 個數，它們的位數不能超過 ⌊log⁡10C⌋\lfloor \log_{10} C \rfloor⌊log10​C⌋，那麼列舉的空間為 O(log⁡2C)O(\log^2 C)O(log2C)；對於後面的所有數，回溯的過程是沒有「分支」的，因此時間複雜度為 $O(n)$，相乘即可得到總時間複雜度 O(nlog⁡2C)O(n \log^2 C)O(nlog2C)。

• 空間複雜度：$O(n)$，其中 $n$ 是字串的長度。除了返回值以外，空間複雜度主要取決於回溯過程中的遞迴呼叫層數，最大為 $n$。