巴什博弈

幽靈軒發表於2020-10-24

一般對於這類博弈類的題目，都有一個條件：“兩人足夠聰明”或者"兩人沒有失誤"

硬幣遊戲

想必大家小時候都有玩過這麼一個遊戲

兩個人博弈，每個人每次可以拿1-3枚硬幣，輪流拿，總共n枚硬幣，最後取光者勝，這就是一個很典型的巴什博弈

對於上面的取硬幣問題，我們舉三個例子
不妨設甲是先手，乙是後手

  1. 總共4枚硬幣，甲無論怎麼取都是輸
  2. 總共5枚硬幣，甲只要第一次取1枚硬幣，乙無論怎麼取，甲都是贏
  3. 總共4n枚硬幣，甲無論怎麼取都是輸，甲每次取x枚，乙接著取4-x枚，乙就一定能贏

這就是一個很典型的巴什博弈

巴什博弈

巴什博弈(Bash Game):只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規
定每次至少取一個，最多取m個。最後取光者得勝。

顯然，如果\(n=m+1\)，那麼由於一次最多隻能取\(m\)個，所以，無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。因此我們發現瞭如何取勝的法則：如果\(n=(m+1)*r+s\),(\(r\)為任意自然數，\(s\le m\)),那麼先取者要拿走\(s\)個物品，如果後取者拿走\(k（k\le m )\)個，那麼先取者再拿走\(m+1-k\)個，結果剩下\((m-1)\times (r-1)\)個，以後保持這樣的取法，那麼先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下\(1. （m+1）\)的倍數，就能最後獲勝。

巴什博弈博弈論裡面最簡單的一種形式。以下題目利用巴什博弈可以輕鬆解決：

  1. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846 （brave game）

  2. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2147 （kiki's game）

  3. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2149 （public sale）

  4. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2188 （選拔志願者）

下面介紹分析此類題目的通用方法：P/N分析：

P點： 即必敗點，某玩家位於此點，只要對方無失誤，則必敗；

N點： 即必勝點，某玩家位於此點，只要自己無失誤，則必勝。

以上題目均可以通過P/N分析法來解決。

例如上面的硬幣問題，4的倍數點都是P點，其他點都是N點

三個定理

一、所有終結點都是必敗點P（上游戲中，輪到誰拿牌，還剩0張牌的時候，此人就輸了，因為無牌可取

二、所有一步能走到必敗點P的就是N點

三、通過一步操作只能到N點的就是P點

程式碼實現

bool Bash_Game (int n,int m){//判斷先手是否必贏
	if(n%(m+1)==0)return false;
	else return true;
}

本文參照：https://www.cnblogs.com/java20130726/archive/2013/05/24/3218207.html

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