博弈論合集

1. 巴什博弈

1. 1 博弈規則

A、B取一堆石子（數量為n），每次可以取1，2，3個，無法操作的人失敗。

1.2 博弈策略

牽制：保證每一輪A、B共取走4個，即如果先手取$x$個則後手取$4-x$個。
所以，如果n%4 = 0，則後手有必勝策略，否則先手有必勝策略（先手第一輪先取走n%4個石子即可）。

1.3 .擴充套件巴什博弈

1.3.1. 博弈規則

A、B取一堆石子（數量為n），每次可以取的個數是給定的集合P中的一個數，無法操作的人失敗。

1.3.2.問題求解

SG函式：$s{g}_x$ = mex { $s{g}_y$ | z - y $\in$ P}。若$s{g}_n\ne 0$則先手有必勝策略。

1.4. 多堆擴充套件巴什博弈

1.4.1.博弈規則

A、B取多堆石子，每次可以在某一堆取的個數是給定的集合P中的一個數，無法操作的人失敗。

1.4.2.問題求解

每一堆的SG函式異或起來，如果異或和不為0，則先手有必勝策略。

2. NIM遊戲

2.1.博弈規則

A、B取多堆石子，每次可以在某一堆取任意的一個數，無法操作的人失敗。

2.2.問題求解

每一堆的數異或起來，如果異或和不為0，則先手有必勝策略。

2.3.NIMK遊戲

2.3.1.博弈規則

A、B取多堆石子，每次可以在最多k堆中每堆取任意數，無法操作的人失敗。

2.3.2問題求解

必勝策略：所有數拆成二進位制，存在某一位，所有二進位制數中1的個數%（k+1）不為0。即存在t，使得$({\sum }_{i=1}^n{x}_{i}xor{2}^{t-1})\%(k+1)\ne 0$。

2.4 Fibonacci Nim遊戲

2.4.1.博弈規則

A、B取一堆石子，第一次不能把所有石子取完，從第二次開始，每次取的石子數量不超過前一次的兩倍，無法操作的人失敗。

2.4.2問題求解

必勝策略：n不是Fibonacci數時，先手必勝。

2.5 階梯NIM

2.5.1.博弈規則

A、B取多堆石子，每次可以從第k堆石子中取出任意多放入第k-1堆中，也可以從第一堆中直接拿走任意多，無法操作的人失敗。

2.5.2問題求解

必勝策略：如果奇數堆中的石子數異或和不為0則先手必勝。
如果先手在偶數堆k中操作，則後手在k-1堆中繼續操作即可；如果先手在奇數堆中操作，則相當於普通NIM。

2.5.3典型題

題意：n堆取石子，要求任意時刻$a_1\le a_2\le \dots \dots a_n$。
思路：差分以後看出階梯博弈。

2.6 反NIM

2.6.1 博弈規則

A、B取多堆石子，每次可以在某一堆取任意的一個數，無法操作的人勝利。

2.6.2 問題求解

必勝策略：

1. 所有數為1，且異或和為0
2. 至少有一堆大於1，且異或和不為0

3. Wythoff博弈

3.1.博弈規則

A、B取多兩石子，每次可以在一堆中取任意多個，或者在兩堆中取同樣的任意多個，無法操作的人失敗。

3.2問題求解

奇異局勢（先手必敗）：（0，0）、（1，2）、（3，5）(4，7)……$(a_k，b_k)$
其中$a_k$是之前未出現過的最小自然數，$b_k=a_k+k$