數位電路（1）- 邏輯代數第一講

variable, complement, literal

• $A$ is a variable
• $\overline{A}$ is the complement of $A$
• $A,\overline{A}$ are literals

邏輯運算及定律

  boolean addition , OR
  boolean multiplication , AND
  它們滿足交換律、結合律和分配律

更多推論

• $A+0=A$

• $A+1=1$

• $A\cdot 0=0$

• $A\cdot 1=A$

• $A+A=A$

• $A+\overline{A}=1$

• $A\cdot A=A$

• $A\cdot \overline{A}=0$

• $\overline{\overline{A}}=A$

• $A+AB=A$

• $A+\overline{A}B=A+B$

• $(A+B)(A+C)=A+BC$

德摩根定理

• $\overline{XY}=\overline{X}+\overline{Y}$
• $\overline{X+Y}=\overline{X}\overline{Y}$
• $\overline{XY}\ne \overline{X}\overline{Y}$

邏輯函式的描述方式

• 邏輯表示式（logic function）
• 真值表（truth table）
• 邏輯電路圖（logic diagram）
• 卡諾圖（Karnaugh Map）
• 波形圖 時序圖（waveform）
• 語言描述（description）【e.g. VHDL】

  注意到，確定的邏輯函式的真值表和卡諾圖是唯一的
  （可用Multisim軟體進行轉換、化簡）

同或、異或和相關推論

  同或(xnor)，相同為一，不同為零
  $X\odot Y=\overline{X}\overline{Y}+XY$

  異或（xor)，相同為零，不同為一
  $X\oplus Y=\overline{X}Y+X\overline{Y}$

  異或有因果互換條件：
  $A\oplus B=C⟹A\oplus C=B,B\oplus C=A$

  奇數個相同的數做異或，結果是自身
  偶數個相同的數做異或，結果是零

代入定理

  在任何一個包含變數$A$的邏輯等式中，若以另一個邏輯等式代入式中所有$A$的位置，則等式仍然成立

反演定理

  對於一個任意邏輯式$Y$，若將其中所有的"$\cdot$“換成”+"，"+“換成”$\cdot$"，變數和常量置反，則結果就是$\overline{Y}$

對偶定理

  兩邏輯式相等$⟺$對偶式相等
  對偶式：$Y$其中所有的"$\cdot$“換成”+"，"+“換成”$\cdot$"，以及常量置反（變數不用動），記為$Y^{\ast }$