最近在學習coursera上的一門課：Build a Modern Computer from First Principles: From Nand to Tetris，我會堅持更新這一系列的部落格，作為記錄自己學習的過程，同時也倒逼自己去把學會的東西再講出來，來深入理解。
其實我們生活中所有的電子裝置都是基於邏輯閘電路（後面會解釋）來構造的。這是很神奇的一件事情，我在中學的時候就好奇計算機是如何完成這一些複雜的操作的，我相信很多人也都好奇過。這門課的願景就是帶我們從一個最基礎的電路開始，構造出一個完整的計算機。
布林代數
在數學和數理邏輯中，邏輯代數（有時也稱開關代數、布林代數）是代數的一個分支，其變數的值僅為真和假兩種真值（通常記作 1 和 0）。邏輯代數是喬治·布林（George Boole）在他的第一本書《邏輯的數學分析》（1847年）中引入的，並在他的《思想規律的研究》（1854年）中更充分的提出了邏輯代數。
這段話來自維基百科，布林其實是一個人名，因為布林代數就是他提出的，所以用他的名字來命名。這裡不會深入講解布林代數，我們只講我們用得到的部分。
還是以數學為例，數學中最基礎的四則運算是加，減，乘，除，同樣的，布林代數也有很多計算方式，最基礎的是應該是：與，或，非。
在開始講具體的計算之前，我們需要把前提記住：布林代數變數的值僅為真和假兩種真值（通常記作 1 和 0，真為1，假為0）。
與
因為布林代數變數的值僅為真和假兩種真值，所以我我們其實可以把所有的情況都列出來，形成一張表，這張表就是我們平時所說的真值表。
與的真值表如下：
| x | y | x與y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
從上面也可以看出，對於\(n\)個變數的真值表，會有\(2^n\)種情況。
x與y其實就是當x和y都是1的時候，結果為1，也就是x和y都是真的時候，結果為真。
你也可以有你自己的理解方式，比如我們一開始學加法的時候，老師告訴我們1+1=2其實就是一個蘋果加一個蘋果等於2個蘋果。那麼x與y你也可以這麼理解：假如你想出去旅遊要徵詢爸爸媽媽的意見，x代表爸爸的意見，x=1代表爸爸同意，y代表媽媽的意見，y=1代表媽媽同意，為0則是不同意。那麼與的意思就是，爸爸與媽媽都同意了，才是通過。
我們平時表述x加y用符號+來表示：x+y；同樣的，與也有它的符號：\(x\)與\(y\) \(\Rightarrow\) \(x \cdot y\)
或
或的真值表如下：
| x | y | x或y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
用上面的例子來說，或就是爸爸或媽媽同意了，就算是通過了。
同樣地，符號表示如下：\(x\)或\(y\) \(\Rightarrow\) \(x + y\)
非
非和上面的與，或有點不一樣，真值表如下：
| x | 非x |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
非其實就是對x去相反的值，從字面意思也可以理解。
符號表示如下：非\(x\) \(\Rightarrow\) \(\overline{x}\)
與非
與非的字面意思是與運算和非運算的結合。
與非的真值表如下：
| x | y | x與非y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
與非就是對與計算出來的結果，再做非計算。其符號表示如下：\(x\)與非\(y\) \(\Rightarrow\) \(\overline{x \cdot y}\)
這裡把與非單獨拿出來講，是因為在電路中，我們可以用一個與非元件，構造出其餘所有的元件。這樣我們只需要弄懂一個電路圖即可。我們這節課的主旨是搞明白，如何從用電路表達布林邏輯，至於電路的效率等方面，則是硬體工程師們考慮的內容了。其實學習就是這樣，我們需要抓住主線，明確目的。如果我們陷入布林邏輯或者電路圖的細節中不可自拔，那就是路走偏了。
邏輯電路
邏輯電路是指完成邏輯運算的電路。這種電路，一般有若干個輸入端和一個 或幾個輸出端，當輸入訊號之間滿足某一特定邏輯關係時，電路就開通，有輸 出;否則，電路就關閉，無輸出。所以，這種電路又叫邏輯閘電路，簡稱閘電路。
這段話來自百度百科，可能比較拗口，我們直接來看實現。
與非門
如圖所示，I1，I2是輸入，NPN是一個三極體（當I1或I2加電的時候，上下兩端連通），我們用1表示有電，用0表示沒電，那麼只有當I1，I2都是1的時候，Output才是0。我們可以用真值表中的例子來驗證一下。
為了簡化表示，我們用如下的符號來表示與非門：
到這裡我們邁出了第一步，我們用一個物理上真實存在的電路圖，表示出了一種布林運算邏輯。那麼下面我們就用這個電路圖來構造其餘的電路圖。
非門
非門的實現如下：
也就是我們只需要在電路圖上把與非門的2個輸入連起來，就可以得到一個非門：這個時候與非門的2個輸入永遠都是相等的，當2個輸入都是1的時候，輸出為0，當2個輸入都是0的時候，輸出為1。
非門的符號如下所示：
與門
類似地，與門的實現如下：
符號表示如下：
或門
或門的實現如下：
符號表示如下：
回顧
這一節我們實現了用電路去表示基礎的閘電路。邁出了關鍵的一步，但是一直用畫圖的方式去表達電路也比較麻煩，下一節我們會簡單學習一門硬體描述語言（HDL：hardware description language）來表示電路的實現方式，一步一步去抽象，實現更多的元件。從而構造出一個完整的電腦。
再聊一個題外話：抽象。抽象是軟體工程師很重要的一個技能。在這裡，我們用或非門構造出了非門，與門，或門，那麼我們可以把構造的過程理解成一個抽象的過程，構造出的閘電路可以直接供我們使用，而不必每次去畫幾個或非門，然後把他們連起來。當然目前的閘電路比較簡單，我們的感知不是很強烈，如果我們構造了一個由幾十個或非門構造出的某門，那麼抽象就顯得尤為重要了。其實平時寫程式碼也是如此，我們應該把公用的部分，抽象出一個模組或者一個工具類。