格
是格(L，≤)的子格。
格的定義
偏序格
定義：給出一個偏序集（L,≤）,如果對於任意a,b∈L，L的子集{a, b}在L中都有一個最大下界(記為inf{a, b})和一個最小上界(記為sup{a, b}) 則稱（L，≤）為一個格。
? 全序集是一個格，不是所有偏序集都是格.
偏序子格
定義：設(L，≤)是格，S ⊆ L，如果(S，≤)是格，則稱(S，≤)是格(L，≤)的子格。
代數格
定義：設L是一個集合，×，⊕是L上兩個二元代數運算，如果這兩種運算對於L中元素滿足：
- 交換律：a×b=b×a，a⊕b=b⊕a。
- 結合律：a ×（b×c）=（a×b）× c，
a ⊕（b⊕c）=（a⊕b）⊕ c。 - 吸收律：a ×（a⊕b）= a，
a ⊕（a×b）= a。
則稱此代數系統(L，×，⊕)為一個格。
?
1️⃣ 設(L, ×, ⊕)是格,則(L, ×)和(L, ⊕) 為交換半群
2️⃣ 滿足吸收律可推出它們一定滿足冪等律。
代數子格
設(L,×,⊕)是一個代數格，S ⊆ L，(S,×,⊕)稱為(L,×,⊕)的一個子格，當且僅當在運算×,⊕下，S是封閉的。
? (S,×,⊕)是格(L,×,⊕)的子格的充要條件是: S ⊆ L 且（S,×,⊕）是一個格。
代數格與偏序格的等價性
定義：一個偏序格必是一個代數格；反之亦然.
代數子格與偏序子格的關係
-
若(S,×,⊕)是(L, ×, ⊕)的代數子格，則(S，≤）是 (L，≤)的偏序子格；
-
若(S，≤)是(L，≤)的偏序子格，則(S,×,⊕) 不一定是(L, ×, ⊕)的代數子格。 （因為代數子格必須滿足封閉性）
格的性質
格的其他性質
1️⃣ 設(L，≤)是一個格，a，b是 L 中任意元素，於是 a≤b <=> a×b = a <=> a ⊕ b = b
2️⃣ 設(L，≤)是一個格，a，b，c是 L 中任意元素，如果b≤c，則有 a×b ≤ a×c，a⊕b ≤ a⊕c
3️⃣ 設(L，≤)是一個格，a，b，c是L中任意元素。於是有分配不等式
- a⊕(b×c) ≤ (a⊕b)×(a⊕c)
- a×(b⊕c) ≥ (a×b)⊕(a×c)
（記憶方法：最後進行 ⊕ 的式子小）
? 在一般格中，分配律不是總成立的，但上述分配不等式總是成立的。
4️⃣ 設（L，≤）是一個格，a，b，c是 L 中任意元素，於是，a≤b <=> a⊕(b×c) ≤ b×(a⊕c)
格的同態和同構
1️⃣ 設(L,×,⊕)和(S,∧,∨)是兩個格，L到S內的對映g稱為(L,×,⊕)到(S,∧,∨)的格同態對映，如果對任意a，b∈L，都有
- g(a×b)= g(a)∧g(b)
- g(a⊕b) = g(a)∨g(b).
2️⃣ 格 L 到 L 內的同態對映稱為格的自同態對映
3️⃣ 若 g 是 L 到 S 上的同態對映，且是一對一的，則稱 g 是格同構對映，並稱格 L 與格 S 是同構的。
此時，對任意 x∈L，任意 y∈S ，有 g-1(g(x))=x，g(g-1(y))=y。
4️⃣ 格的同態對映一定是保序對映，但保序不一定是同態
設(L,×,⊕) ≡ (L, ≤)和(S,∧,∨) ≡ (S, ≤)是兩個格。如果 g 是 L 到 S 內的同態對映，則 g 是保序對映，
亦即，對任意 a，b∈L，若a≤b，則g(a)≤g(b)。
5️⃣ 設(L,×,⊕)是一個格，g 是此格的自同態對映，於是 g(L)是(L, ×, ⊕)的代數子格。
6️⃣ 設(L,×,⊕), (S,∧,∨)是兩個格，若 g 是 L 到 S 上的同構對映,則 g 的逆對映 g-1 是 S 到 L 上的同構對映。
7️⃣ 若格（L，×，⊕) ≡ (L, ≤)和格(S，∧，∨) ≡ (S, ≤) 同構 ，g 是其同構對映, 則對 L 中任意兩個元素a，b，有a≤b <=> g(a)≤g(b)
n 維格
幾種特殊的格
有界格
定義：格(L，≤)稱為有界格，如果它有一個最大元素(記為1)和一個最小元素(記為0)，亦即，對任意a∈L，都有 0≤a≤1, 0，1稱為格 (L，≤)的界。
? 有限格必是有界格，有界格不一定是有限格
1️⃣ 若(L,×,⊕, 0, 1)是有界格，則對任意a∈L，恆有
a ⊕ 0 = a， a × 1 = a，
a ⊕ 1 = 1， a × 0 = 0。
2️⃣ 餘元素：在有界格(L，×，⊕，0，1)中，一個元素b∈L，稱為元素a∈L的餘元素，如果a × b = 0， a ⊕ b = 1。
3️⃣ 在有界格中，一元素可能沒有餘元素；如果有餘元素，可以有一個或一個以上的餘元素.
4️⃣ 在有界格（L,×,⊕, 0, 1)中，1是0的唯一 一個餘元素，反之亦然。
有餘格
定義：稱有界格(L，×，⊕，0，1)是一個有餘格如果對 L 中每一個元素，都至少有一個餘元素。
分配格
定義：格(L,×,⊕)稱為分配格，如果對任意 a，b，c∈L，恆有
a×(b⊕c) = (a×b)⊕(a×c)
a⊕(b×c) = (a⊕b)×(a⊕c)
?
1️⃣ 分配格定義中的兩個等式是等價的，可以互相推出
2️⃣ 但不是所有的格都是分配格
3️⃣ 分配格的任意子格仍是分配格。
‼️ L是分配格當且僅當 L 既不含有與五角格同構的子格;也不含有與鑽石格同構的子格。
5️⃣ 任意一個鏈都是一個分配格
6️⃣ (德摩根定律) 設(L,×,⊕)是一個分配格，對任意a, b∈L，若a，b有餘元素a’, b’，則
(a×b)’= a’⊕b’ (a⊕b)’= a’×b’
7️⃣ 設格(L,×,⊕)是分配格，對任意a, b, c∈L，如果a×c = b×c，a⊕c = b⊕c，則a = b。
8️⃣ 設格(L,×,⊕)是一個有餘分配格（有界分配格），則對任意a∈L，a 的餘元素 a′ 是唯一的。
模格
定義：設(L,≤)是一個格，對任意a, b, c∈L，如果a≤b，都有a⊕(b×c)= b×(a⊕c)則稱(L，≤)為模格。
?
1️⃣ 任意一個分配格都是模格
2️⃣ 模格不一定是分配格。
‼️
- 一個格 L 是模格當且僅當 L 不含與五角格同構的子格。
- 一個模格是分配格當且僅當 L 不含與鑽石格同構的子格
4️⃣ 格(L，≤)是模格的充要條件是：
對任意a，b，c∈L，如果a≤b，a×c=b×c，a⊕c=b⊕c，則必有a=b。
布林代數
布林代數的定義及其性質
定義： 一個有餘分配格是一個布林代數。記為(B，·，+，ˉ，0，1)。
性質：
Huntington(亨廷頓)公理
定理: 設B是一個至少含有兩個不同元素的集合，·，+是定義在B上的兩種代數運算，如果對任意a，b，c∈B，滿足下面公理：
子代數
任給一個布林代數 (B, ·, +, ¯, 0, 1)。若B的一個子集S包含0和1, 且(S，·，+，¯，0，1)仍是一個布林代數,則稱S為B的子代數。
設（B，·，+，¯，0，1）是布林代數.於是，B的子集S是B的子代數的充要條件是S在運算· ，+，¯ 下是封閉的。