證明既定關係

給出如下所示的學生成績統計表

學生\課程	A₁	A₂	……	An
X₁	A₁（X₁）	A₂（X₁）	……	……
X₂	A₁（X₁）	A₂（X₁）	……	……
……	……	……	……	……
Xm	……	……	……	An（Xm）

根據學生的學習成績，寫出求解獲取所有學生的集合上序關係的演算法描述：即 若學生X_i，在所有課程上的成績都優於學生X_j，則學生對（X_i，X_j）滿足序關係，這一序關係以矩陣的形式輸出。

思路

有n個學生，就構建一個n行n列的學生矩陣，比對每個學生與其他學生的關係
滿足“序關係”（成績全方面超過別人）就置為1，否則置為0

虛擬碼形式如下：

Input 學生成績統計表
獲取成績表中學生人數m，課程數目n
初始化學生矩陣student_matrix(m,m)為零矩陣

for i=1:m 
    for j=1:m 
        if 第i個學生所有成績 > 第j個學生所有成績
            student_matrix(i,j)=1; 
        end	if
    end	for
end	for
Output student_matrix

證明等價關係

給定一個m×m的矩陣M，用以表示定義在集合A上的一個二元關係，設計演算法用以判斷這一矩陣所表示的二元關係是否滿足等價關係

思路

等價關係分三步：自反、對稱、傳遞
自反性用一次for迴圈，遍歷關係矩陣M對角線上元素即可
對稱性用兩次for迴圈，遍歷M中（i，j）為1的部分，判斷（j，i）是否為1
傳遞性用三層for迴圈，遍歷M中（i，j）為1且（j，k）為1的部分，M（i，k）是否為1

虛擬碼形式如下：

Input 關係矩陣M，矩陣規模m

定義函式 reflective： 引數M，m
	for i=1:m
		if M(i,i)!=1
			return false
		end if
	end for
	return true
end

定義函式 symmetric： 引數M，m
	for i=1:m
		for j=1:m
			if M(i,j)==1 and M(j,i)!=1
				return false
			end if
		end for
	end for
	return true
end

定義函式 transitive： 引數M，m
	for i=1:m
		for j=1:m
			for k=1:m
				if M(i,j)==1 and M(j,k)==1 and M(i,k)!=1
					return false
				end if
			end for
		end for
	end for
	return true
end

主函式：
if reflective（M,m）and symmetric（M,m）and transitive（M,m）
	output 這是一個等價關係
else
	output 這不是一個等價關係
end if

證明關係的劃分

給定一個m×m的矩陣M用以表示一個等價關係，該等價關係是定義在集合A上的，即|A|=m，設計演算法求得這個等價關係所對應的劃分。

思路

首先了解等價關係對應的劃分
通俗來講
等價關係→劃分：彼此滿足關係的元素構成一個集合（block），所有的block組成對應的劃分
比如關係對(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)構成集合{1,2}，關係對（3,3）構成集合{3}那麼整個關係(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)(3,3)對應的劃分就是{{1,2},{3}}
劃分→等價關係：劃分中的每個block自己與自己形成笛卡爾積，其元素就形成關係對，所有關係對合起來就是對應的等價關係，例子我就不舉了，傳送門裡面說的很詳細

回到題目，要求關係對應的劃分，根據關係矩陣找出每個關係對形成的block，所有block合併就是對應的劃分

虛擬碼如下：

Input 等價關係矩陣M，矩陣長度m，集合A
for i=1:m
	for j=1:m
		if M(i,j)==1
			block中加入A(j)
		end if
	end for
	block內元素去重
	Output block
	block清空
end for

找尋LUB和GLB

給定一個非空有限偏序集（A，≤），設計演算法求解A中任意兩個元素最小上邊界儲存在矩陣M_LUB中，設計演算法求解A中任意兩個元素最大下邊界，儲存在矩陣M_GLB中。

思路

這裡要用到一個推論（證明很簡單，我就不證了）
a∨b=b，當且僅當a≤b
a∧b=a，當且僅當a≤b
所以遍歷整個集合A
對每個元素i，再遍歷集合A一次
用A（i）對比A（j），如果滿足A（i）≤ A（j），則A（i）存入M_GLB中第（i，j）位，A（j）存入M_LUB第（i，j）位。
輸出M_LUB 和 M_GLB

虛擬碼如下：

Input 集合A
求出A的模m
for i=1:m
	for j=1:m
		if A(i)和A(j)滿足≤關係
			GLB(i,j)=A(i)
			LUB(i,j)=A(j)
		end if
	end for
end for
Output GLB 和 LUB

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