離散數學——2.命題邏輯公式語法和語義

命題邏輯公式語法和語義

命題邏輯基本概念

• 命題及其真值
  • 對事物性質或關係進行判斷，有真假值的陳述句
    • 非陳述句（感嘆句、疑問句、祈使句）不是命題
    • 帶變數的句子、認為是悖論的句子，沒有真假值，不是命題
  • 命題的真值包含兩個值，一個為真(true)，一個為假(false)
    • 使用0或F表示假，1或T表示真，真值集是2 =
• 原子命題和複合命題
  • 不含有邏輯聯結詞不能分割的命題是原子命題（簡單命題）
    • 邏輯本身不研究原子命題的真值
  • 含有邏輯聯結詞，可分割為子命題的命題是複合命題
    • 複合命題的真值由原子命題的真值及其中的邏輯聯結詞決定
• 邏輯聯結詞：與、或、非、蘊涵和雙蘊涵
  • 命題邏輯本質上是研究邏輯聯結詞的性質

命題邏輯公式的語法

命題邏輯公式的歸納定義

邏輯語言是邏輯公式的集合，邏輯公式是給定符號集的符號按照一定規則構成的符號串

• 邏輯公式的語法(syntax)就是構成公式的規則，體現為邏輯公式的歸納定義

為什麼要學習公式的歸納定義?

1. 公式的歸納定義給出了分析公式結構的演算法
   • 編寫程式處理命題邏輯公式的基礎
     • 進而可編寫程式計算命題邏輯公式的真值等等
2. 培育嚴謹思考精神，以及可對邏輯有更深認識
   • 公式歸納定義是非常嚴謹的定義
   • 清楚公式語法結構可深化對邏輯語言的學習

命題邏輯公式的符號集

• 預先給定的命題變數集Var
  • 離散建模時從需求解的問題中提取的基本命題的符號化
  • 通常使用小寫字母p, q, r表示命題變數
• 五個邏輯運算子 ¬ ∧ ∨ → ↔
• 輔助符號：左右圓括號(, )

命題邏輯公式的歸納定義

• 歸納基：命題變數集Var的每個符號是公式稱為命題變數，也是原子公式
• 歸納步：
  • 如果A，則(¬A)是公式
  • 如果A, B是公式，則(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)是公式

歸納步在已有公式加邏輯運算子和圓括號構造更多公式

• 每個邏輯運算子對應一個構造公式的歸納步規則

歸納定義的最小化原則

• 每個公式都是原子公式、否定式、合取式、析取式、蘊涵式或雙蘊涵式之一
• 每一步使用歸納步規則構造一個公式的已有公式是構造得到公式的子公式
• 對公式結構的分析可得到公式的抽象語法樹，其中內部節點只用構造公式的邏輯運算子標記
• 子公式的語法結構由抽象語法樹的子樹描述

規定邏輯運算子的優先順序和結合性，以減少圓括號的使用

• 運算子優先順序用於確定一個命題變數處在兩個不同的運算子中間時，該命題變數參與優先順序高的邏輯運算
  • 邏輯運算子的優先順序從高到低的順序是 ¬, ∧, ∨, →, ↔
• 運算子結合性用於確定一個命題變數處在兩個相同的二元運算子中間時，命題變數所參與的運算
  • ∧, ∨和↔是從左至右結合，而→是從右至左結合

命題邏輯公式的語義

命題邏輯公式語義的歸納定義

命題邏輯公式的語義 (semantic)是指如何確定命題邏輯公式的真值

• 在給定命題變數的真值的基礎上如何確定命題邏輯公式的真值

• 命題邏輯公式的語法定義基於給定的命題變數集Var

• 命題邏輯公式的語義定義基於該命題變數集的一個真值賦值函式$σ:Var→2$

真值賦值函式

給定的命題變數集Var的一個真值賦值函式σ是

• 從Var到真值集2 = {0, 1}的函式σ: Var →2

成真賦值和成假賦值:對於真值賦值函式σ和公式A,若σ(A)= 1，則σ稱為公式A的成真賦值，否則稱為公式A的成假賦值

命題邏輯公式的真值表

根據真值賦值順序和每一列關注的邏輯運算子的特點逐列構造真值表

合取：第一個分支為假，整個合取式為假，否則等於第二個分支的真值

析取：第一個分支為真，整個析取式為真，否則等於第二個分支的真值

蘊涵：第一個分支為假，整個蘊涵式為真，否則等於第二個分支的真值

• 命題邏輯公式從語法上分為原子公式、否定式、合取式、析取式、蘊涵式和雙蘊涵式

• 命題邏輯公式從語義上分為永真式、矛盾式和偶然式（非永真的可滿足式）