離散數學 II(最全面的知識點彙總)

若水茗心發表於2020-05-30

離散數學 II(知識點彙總)


目錄

代數系統

代數系統定義

一個非空集合A,連同若干個定義在該集合上的運算f1,f2,…,fk,所組成的系統就稱為一個代數系統,記作<A, f1,f2,…,fk >。

例子

例:<N,+>,<Z,+,·>,<R,+,·>都是代數系統,其中+和·分別表示普通加法和乘法。
例:<Mn(R),+,·>是代數系統,其中+和·分別表示n階(n≥2)實矩陣的加法和乘法。
例:<ρ(S),∪,∩,~ >也是代數系統,其中含有兩個二元運算∪和∩以及一個一元運算 ~。

二元運算定義

S為非空集合,從S×S->S的對映: f: S×S->S稱為集合S上的一個二元運算。

運算及其性質

二元運算的性質

封閉性

  • Premise:\(*\)是定義在集合A上的二元運算, \(\forall\ x,y\in A\)
  • Condition:\(\ x*y\in A\)
  • Summary:\(*\)在A上是封閉的

可交換性

  • Premise:\(*\)是定義在集合A上的二元運算, \(\forall\ x,y\in A\)
  • Condition:\(x*y=y*x\)
  • Summary:\(*\)在A上是可交換的

可結合性

  • Premise:\(*\)是定義在集合A上的二元運算, \(\forall\ x,y,z\in A\)
  • Condition:\((x*y)*z=x*(y*z)\)
  • Summary:\(*\)在A上是可結合的

可分配性

  • Premise:\(*,\triangle\)是定義在集合A上的二元運算, \(\forall\ x,y,z\in A\)
  • Condition:\(x*(y\triangle z)=(x*y)\triangle (x*z)\)\((y\triangle z)*x=(y*x)\triangle (z*x)\)
  • Summary:在A上,\(*\)對於$\triangle $是可分配的

吸收律

  • Premise:\(*,\triangle\)是定義在集合A上的二元運算, \(\forall\ x,y\in A\)
  • Condition:\(x*(x\triangle y)=x\)\(x\triangle (x*y)=x\)
  • Summary:\(*\)和$\triangle $在A上滿足吸收律

等冪性

  • Premise:設\(*\)是定義在集合A上的二元運算, \(\forall\ x\in A\)
  • Condition:\(x*x=x\)
  • Summary:\(*\)在A上是等冪的

消去律

  • Premise:設\(*\)是定義在集合A上的二元運算, \(\forall\ x,y,z \in A\)
  • Condition:(左消去律)\(x*y=x*z\Rightarrow y=z\)、(右消去律)\(y*x=z*x\Rightarrow y=z\)
  • Summary:\(*\)在A上是滿足消去律的

特殊的元素性質

\(*\)是定義在集合A上的二元運算

么元

  • 左么元:對於\(e_l\in A,\ \forall\ x\in A,\ e_l*x=x\)
  • 右么元:對於\(e_r\in A,\ \forall\ x\in A,\ x*e_r=x\)
  • 么元:對於\(e\in A\)\(e\)既是左么元又是右么元

零元

  • 左零元:對於\(\theta_l\in A,\ \forall\ x\in A,\ \theta_l*x=\theta_l\)
  • 右零元:對於\(\theta_r\in A,\ \forall\ x\in A,\ x*\theta_r=\theta_r\)
  • 零元:對於\(\theta\in A\)\(e\)既是左零元又是右零元

逆元

設在代數系統\(<A,*>\)中,\(*\)為二元運算,e為A中關於\(*\)的么元,\(a,b\in A\)

  • 左逆元\(b*a=e\),則b為a的左逆元
  • 右逆元\(a*b=e\),則b為a的右逆元
  • 逆元:b​既是a的左逆元又是右逆元,則b為a的逆元,記為a-1
    • 此時有a與b互為逆元
證明逆元且唯一定理
  • Premise:\(\forall\ a\in A\),e為A的逆元,\(*\)為A的二元運算
  • Condition:a都有左逆元,\(*\)可結合
  • Summary:a的左逆元為a的逆元且唯一

二元運算表中性質的體現

\(*\)是定義在集合A上的二元運算

  • 封閉性\(\Leftrightarrow\)運算表中所有元素\(\in A\)
  • 可交換性\(\Leftrightarrow\)運算表中所有元素沿對角線對稱
  • 等冪性\(\Leftrightarrow\)運算表中主對角線元素等於本身
  • 零元\(\Leftrightarrow\)該元素運算行列元素與其本身相同
  • 么元\(\Leftrightarrow\)該元素運算行列元素與其對應的行列元素一致
  • 逆元\(\Leftrightarrow\)兩元素行列相交處都是么元

半群

廣群

成立條件

  • \(*\)運算封閉

半群

定義

  • \(*\)運算封閉
  • \(*\)運算可結合

特性

  • A元素有限,則必有等冪元

證:

∵ <S, *>是半群,∴對於\(\forall\)b \(\in\)S,由運算*封閉可知:
b2=b*b\(\in\)S,b2 *b=b*b2=b3\(\in\)S ,b4,b5\(\in\)S
∵ S有限,∴必定\(\exists\)i,j,j>i,有bi=bj(第一輪)
∴ bi =bj =bj-i * bi
令p=j-i ,則有 bi =bp * bi
∴ 對任意q≥i, 有bq= bp *bq (第二輪)
又∵p≥1 ∴$\exists $k,有kp≥i,則有bkp=bp *bkp (第三輪)
由bkp=bp *bkp得: bkp=bp *bkp=bp *(bp *bkp)=…=bkp *bkp
∴令a=bkp \(\in\)S 則a*a=a,∴bkp是等冪元。

子半群

  • \(B\subseteq A\)
  • \(*\)在B上運算封閉

獨異點

成立條件

  • 為半群
  • 含么元

特性

  • 運算表任意兩行兩列都不相同

證:

設獨異點中么元為e,對於任意 a,bS且a≠b,總有
(1)∵a*e=a ≠ b=b*e
由a,b任意性, 有<S, *>運算表中任兩行不同;
(2)∵e*a = a ≠ b = e*b
由a,b任意性,有<S, *>運算表中任兩列不同。

  • 若a,b均有逆元,則
    • \((a^{-1})^{-1}=a\)
    • \(a*b\)有逆元,且\((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\)

證:

a) ∵a-1是a的逆元

​ ∴a-1既是a的左逆元又是a的右逆元

​ 即:a-1 *a=a *a-1=e

​ ∴a既是a-1的右逆元又是a-1的左逆元,

​ ∴ a是a-1的逆元 即(a-1)-1=a

b) 要證(a *b)-1=b-1 *a-1,即證b-1 *a-1為a*b的逆元。

∵(a*b) *(b-1 *a-1)=a* (b*b-1) *a-1=a*e*a-1=e

∴b-1 *a-1是a*b的右逆元,

又∵(b-1 *a-1)*(a *b)=b-1 *(a-1 *a)*b=e

∴b-1 *a-1是a*b的左逆元,

∴(a*b)-1=b-1 *a-1

證明是半群或獨異點

按定義證明

群和子群

定義

  • 運算封閉
  • 可結合
  • 存在么元e
  • 對於每一個元素\(x\in G\),存在逆元$x^{-1}

階數、有限群、無限群

如果\(<G,*>\)為群且元素有限,則稱為有限群,元素個數稱為群的階數,否則稱為無限群

1階、2階、3階、4階群

1~4階都有迴圈群,可以用mod運算推

4階還有克萊因四元群,如下

* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e

特性

  • 階大於1的群中不可能有零元

證:

(1)當群的階為1時,它的唯一元素視作么元e;

(2)設|G|>1且群<G, *>中有零元q,那麼群中

​ ∀x∈G,*都有q*x=x*q=q ≠ e

所以零元q不存在逆元,這與<G, *>是群矛盾。

  • $\forall\ a,b\in G,\ \exists\ \(唯一的\)x,\ a*x=b$

證:

(1)存在性
設群<G, *>的單位元為e,令x=a-1 *b, 則
a*x=a*(a-1 *b)=(a*a-1) *b=e*b=b
所以x=a-1 *b是方程a*x=b的解。
(2)唯一性
若還有x′∈G, 使得a*x′=b, 則
x′=e*x′
=(a-1 *a)*x′=a-1 *(a*x′)=a-1 *b=x
故x=a-1 *b是方程a*x=b的唯一解。

  • 滿足消去律

證:

a*b=a*c

$\Rightarrow $ a-1 *(a*b)=a-1 *(a*c)

$\Rightarrow $ (a-1 *a) *b=(a-1 *a)*c

$\Rightarrow $ e*b=e*c

$\Rightarrow $ b=c

冪特性
  • 除了么元外,不存在其他等冪元
  • 關於逆元,群中任一元素逆元唯一,且有:
    • \((a^{-1})^{-1}=a\)
    • \((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\)
    • \((a^{n})^{-1}=(a^{-1})^n=a^{-n}\)

證:

已學定理5-2.4:設代數系統<A, *> , A中存在么元e,且$\forall $x∈A,都存在左逆元,若*是可結合的運算,那麼<A, *> 中任何一個元素的左逆元必定也是該元素的右逆元,且每個元素的逆元唯一。

證明:

∵群滿足結合律,且群中每個元素都有逆元,

∴每個元素都有左逆元,

∴每個元素的逆元唯一。

運算表特性
  • 每一行與每一列都是G元素的一個置換,沒有相同元素
  • 運算表中任意兩行或者兩列都不相同

運算

AB={ab|a∈A,b∈B}
A-1={a-1|a∈A}
gA={ga|a∈A}

子群

記為H\(\leq\)G,真子群記為H<G

定義
  • 為一個群的非空子集
  • 也為群
判定條件
  1. 非空\(S\subseteq G\),且S也是群
  2. 非空\(S\subseteq G\),G為有限群,S中運算封閉
  3. 非空\(S\subseteq G\),有\(a*b^{-1}\in S\)
性質

若<H, *>和<K, *>為<G, *>子群,則

  • <H\(\cap\)K, *>也是子群
  • <H\(\cup\)K, *>是子群 當且僅當 H\(\subseteq\)K或K\(\subseteq\)H
  • HK是子群 當且僅當 HK=KH
平凡子群

\(S=\{e\}\quad OR\quad S=G\)

中心

對於\(C=\{y|y*a=a*y,y\in G\}\),則<C, *>為子群,稱為G的中心

共軛子群

若H為G子群,則xHx-1={x*h*x-1|h ∈H}也是G的子群,稱xHx-1是H的共軛子群

阿貝爾群和迴圈群

阿貝爾群 / 交換群

定義

  • 是群
  • \(*\)可交換

判定

  • 是群,且\(\forall\ a,b\in G,\ (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)\)

證:

充分性 即證a*b=b*a。
∵ (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 且<G,*>是群,*可結合
∴ a*(b*a)*b=a*(a*b)*b
∴ a-1 *(a*(a*b)*b)*b-1=a-1 *(a*(b*a)*b)*b-1
即有:a*b=b*a, ∴ <G,*>是阿貝爾群。
必要性 ∵ <G,*>是阿貝爾群,
∴對∀a,b∈G,有:a*b=b*a
∴ (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)

迴圈群

定義

\(\exists\ a\in G,\ \forall\ b\in G\),b都能表示成a的冪,a稱為生成元

特性

  • 是阿貝爾群
  • 如果是有限群,階數為n,則
    • 么元為an
    • \(\psi(n)\)個生成元,(尤拉函式,表示小於n且與n互質的正整數個數)
    • G的其他生成元即\(a^k\),k與n互質
  • 若階數無限,則只有兩個生成元e和e-1

元素的階

定義

最小正整數k使某一元素\(a^k=e\),則k為a的階(週期)

性質
  • ak=e \(\iff\) r | k

    (k是r的整數倍,即存在整數m,使得k=rm )

證:

充分性:r | k \(\Rightarrow\) ak=e

設 r | k,則存在整數m,使得k=rm,

​ ak= arm=(ar)m=em=e

必要性:ak=e \(\Rightarrow\) r | k

若ak=e,由帶餘除法,一定存在整數p,q,使得

k=pr+q(0≤q<r),於是ak=apr+q=apr *aq=(ar)p *aq =(e)p *aq =e*aq =aq =e (ak=e)

∵ r是a的階,即使得ar=e的最小正整數

∴只有q=0才可能有aq =e, ∴ k=pr 即r | k。

  • O(a)= O(a-1)(元素與其逆元的階相同)

證:

O(a)= O(a-1)(元素與其逆元的階相同)

證:∀a∈G,a的階為r, a-1的階為r’,

則 (a-1)r’=e ,ar=e

∵ (ar)-1 *ar=e 且ar=e,
∴ (ar)-1=e( (ar)-1與e做運算=e,則(ar)-1必=e)
由紅色部分可得(ar)-1=(a-1)r’=e-----①
∵ <G,*>是群,即(an)-1=(a-1)n成立,則
(ar)-1=(a-1)r 成立-----②
由①②可得,(a-1)r =(a-1)r’=e
∵ 已知r’是a-1的階,即r’是使得(a-1)k =e的最小正整數,
∴ r=mr’(m為正整數),即r’|r。 (定理中的(1)剛證明過)
同理可證r|r’。
(a-1)r’= (ar’)-1=e
∵ (ar’)-1 * ar’=e
∴ ar’=e
∵ 已知r是a的階,即r是使得(a)r =e的最小正整數,
∴ r’=mr (m為正整數),即r|r’ .由r’|r與 r|r’即可證得r=r’。

  • r ≤ |G|(元素的階一定小於等於群的階)

證:

一個元素a, a的階是r,且r>|G|,則由a可生成一個集合S={a,a2,a3,…,ar-1,ar},因為運算*封閉,所以S$\subseteq \(G, 則S的元素個數小於|G|. 然後證明a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^各不相同。 若不然,假設S中存在兩個元素相同: a^i^=a^j^,其中1≤i<j≤r,就有e=a^j-i^ (1≤ j-i<r,a^i^=a^j^右側同\*a-i),而已知r是使得a^r^=e的最小整數。 a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^都各不相同,即集合S的元素個數大於|G|,與S\)\subseteq $G矛盾。綜上,r≤|G|

子群性質

  • 迴圈群的子群也是迴圈群
  • 迴圈群是無限階的,則其子群除了{e}也是無限階的
  • 迴圈群是n階的,對於每個n的因子,有且只有一個迴圈子群

置換群和伯恩賽德定理

置換

成立條件

  • 對於非空集合S,\(S\rightarrow S\)的雙射稱為S的置換

運算

先運用\(\pi_2\),再運用\(\pi_1\)

  • 左複合 $\circ \(:\)\pi_1\circ\pi_2$
  • 右複合 $\diamond \(:\)\pi_2\diamond\pi_1$

置換群

定義

  • 具有n個元素的集合S中所有的置換組成的群\(<S_n,\circ>\),其中元素個數有 n! 個
  • 任意\(<S_n,\circ>\)的子群都是S上的置換群

對稱群

\(S_n\)稱為S的對稱群

交錯群

\(S_n\)中所有偶置換組成的群,記為\(A_n\)\(|A_n|=n!/2\)

輪換

定義

設s是S={1,2,…,n}上的n元置換,且:

\[s(i_1)=i_2, s(i_2)=i_3, …, s(i_k-1)=i_k, s(i_k)=i_1 \]

\(\forall\ x\in S,\ x\ne i_j (j=1,2,…,k)\),有 s(x)=x(即s 不改變其餘元素),稱s是S上的一個k輪換, 當k=2, s也稱為對換

記法

\((i_1,i_2,...,i_k)\)

對換
定義

k=2時

性質
  • 任意輪換可以寫成對換的乘積。即

    (a1 a2…ar)=(a1 ar)(a1 ar-1)…(a1 a3)(a1 a2)

誘導的二元關係

定義

\(<G,\circ>\)為S的一個置換群,則其誘導的二元關係有

\[R=\{<a,b>|\pi(a)=b,\ \pi\in G\} \]
性質
  • 是一個等價關係(條件:自反性、對稱性、傳遞性)

三元素集的置換群

對稱群

S3={ (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }

交錯群

A3={ (1), (1 2 3), (1 3 2) }

伯恩賽德定理

\(\pi\)是劃分S的置換群的一個置換,\(\phi(\pi)\)指置換中不變元個數

\[等價類數目=\frac{1}{|G|}\sum_{\pi\in G}\phi(\pi) \]

陪集和拉格朗日定理

陪集

定義

設H是G的子群,\(a\in G\),則

  • aH={a*h|h∈H} H關於a的左陪集
  • Ha={h*a|h∈H} H關於a的右陪集

a稱為陪集的代表元素

性質

元素\(\Rightarrow\)陪集

  • 陪集元素個數相等,\(\forall a\in G\),|aH|=|H|

  • a∈H$\iff $aH=H,Ha=H

  • a∈aH

  • b∈aH $\iff $ bH=aH

陪集與陪集

  • aH和bH關係只有兩種
    • aH∩bH=\(\varnothing\)(Ha∩Hb=\(\varnothing\)
    • aH=bH(Ha=Hb)

陪集\(\Rightarrow\)元素,a/b屬於同一陪集

  • aRb \(\iff\) a-1 *b∈H \(\iff\) b∈aH \(\iff\) aH=bH

所有左陪集的集合∑剛好是G的一個劃分

特殊關係

劃分

  • 每個元素非空。不存在空塊
  • 所有元素並集為G
  • 任兩個元素交集為空

等價關係

關係R滿足自反、對稱、傳遞

  • 若<x,y>\(\in\)R,稱x等價於y,記作x~y

等價類

有等價關係的元素組成的一個集合,記為[a]R

  • a稱為[a]R的代表元素

商集 A/R

以R的所有等價類作為元素的集合稱為A關於R的商集

子群的指數

G對H的陪集的集合的基數,即陪集的數目,記為[G:H ]

拉格朗日定理

H為G的子群,則:

  • R={<a,b>|a∈G,b∈G且a-1 *b∈H}是G上的一個等價關係。對於a∈G,若記[a]R={x|x∈G且<a,x>∈R},則[a]R=aH
  • 如果G是有限群,|G|=n,|H|=m,則m|n。

推論

  • 素數階群的子群一定是平凡群。(素數階的群不存在非平凡子群)
  • 設<G,*>是n階群,則對任意a∈G,有an=e
  • 有限群中,元素的階能整除群的階
  • 素數階群一定是迴圈群,且每個非么元均為生成元

正規子群和商群

正規子群 / 不變子群

定義

H\(\leq\)G,\(\forall g\in G\),gH=Hg,記為H\(\unlhd\)G

判別

\(\forall a\in G\)

  • aH=Ha,(即H\(\unlhd\)G)
  • \(\forall h\in H\),aha-1\(\in\)H
  • aHa-1\(\subseteq\)H
  • aHa-1=H

如果G是交換群,則G的任何子群都是正規子群

[G:H]=2 , 則H是G的正規子群

單群

G除了平凡子群外無其他正規子群

性質

  • 正規子群與子群的乘積是子群
  • 正規子群與正規子群的乘積是正規子群
  • 傳遞性

商群

運算

在G/H上定義陪集乘法運算∙,對於任意aH,bH∈G/H, 有

\[aH·bH=(ab)H \]

定義

設G為群,H為正規子群,則G/H關於運算∙構成一個群,稱為G的商群

性質

  • 商群G/H的單位元是eH(=H)
  • 在G/H中aH的逆元是a-1H

推論

  • 若G是交換群,G/H也是交換群
  • 商群的階是G階數的因子

同態與同構

同態對映 / 同態 ~

定義

<A,\(\star\)>與<B,*>滿足\(f(a_1\star a_2)=f(a_1)*f(a_2)\)

稱 f 為同態對映 / 同態,<A,\(\star\)>同態於<B,*>

記為 A~B

同態象

<f(A), *>為<A,\(\star\)>的一個同態象

自然同態

群G到商群G/H的同態,為 a\(\rightarrow\)aH

分類

  • f:A\(\rightarrow\)B 為滿射,f 稱為滿同態
  • f:A\(\rightarrow\)B 為入射,f 稱為單一同態
  • f:A\(\rightarrow\)B 為雙射,f 稱為同構對映
同構

f 為同構對映時,稱<A,\(\star\)>與<B,*>同構,記為A\(\cong\)B

  • 同構關係是等價關係
凱萊定理

任何一個有限群同構於一個置換群。

置換群即運算表中所有行 OR 所有列

自同態 / 自同構

自身到自身的對映

同態對映性質

在 f 作用下

  • <A, $\star $>的所有性質在同態象上保留
  • 若同構,則<B, *>擁有<A, $\star $>的所有性質

同態核

定義

A中元素對映 f 後為么元。記為 Ker(f),稱為 f 的同態核

Ker(f) = {x|x∈G且f(x)=e’}

性質

  • 同態核N為A的正規子群
  • f 為單同態 \(\iff\) Ker(f)={e}
  • 若Ker(f)=N ,則 f(a)=f(b) \(\iff\) aN=bN

同態基本定理

  • 若 f 為A到B的滿同態,Ker(f)=N,則A/N\(\cong\)B
  • 若h為A自然同態,存在A/N到B的同構g,有f=gh

第一同構定理 / 商群同構定理

  • 若 f 為A到B的滿同態,Ker(f)=N,H\(\unlhd\)A 且 N\(\subseteq\)H
    • 則 A/H \(\cong\) B/f(H)
  • 若 H\(\unlhd\)A 且 K\(\unlhd\)A 且 K\(\subseteq\)H
    • 則 A/H \(\cong\) (A/K) / (H/K)

環與域

定義

對於<A, +, ·>有兩種二元運算的代數系統

  • <A, +>是阿貝爾群

  • <A, ·>是半群

  • 運算 · 對於 + 是可分配的,即\(\forall a,b,c\in A\)

    a·(b+c)=(a·b)+(a·c)

    (b+c)·a=(b·a)+(c·a)

為了區別環中的兩個運算,通常稱+運算為環中的加法,·運算為環中的乘法。

零元

加法單位元,記為0(\(\theta\))

單位元

乘法單位元,記為1

負元

加法逆元,記為-x

逆元

乘法逆元,記為x-1

例子

  • <R,+,·> 實數環
  • <Q,+,·> 有理數環
  • <I,+,·> 整數環
  • <Mn(I),+, ·> n階整數矩陣環
  • <Nk , +k , ×k> 模k整數環
  • <Z[i], +, ·>(Z[i]=a+bi,a,b\(\in\)Z,i2=-1) 高斯整數環 (複數)
  • <R[x] ,+, ·> R[x]為實數多項式

性質

與理解的加法乘法相同,消去律不一定

  • \(\theta\)=\(\theta\)·a=\(\theta\)
  • a·(–b)=(–a)·b = –(a·b)
  • (–a)·(–b)=a·b
  • a·(b–c)=(a·b)–(a·c)
  • (b–c)·a=(b·a)– (c·a)

特殊環

交換環

<A, · >可交換

含么環

<A, · >含么元

無零因子環

等價於乘法消去律)

\(\forall a,b\in A, a\neq\theta, b\neq \theta\),則必有\(a·b\neq\theta\)

零因子

\(a,b\in A, a\neq\theta, b\neq \theta\),有\(a·b=\theta\),則a或b為零因子

整環

定義

(基於乘法運算的性質)

交換、無零因子 OR 含么、無零因子

即同時滿足交換環、含么環和無零因子環的條件

子環

定義

環的子集,也是環

判定定理

\(\forall a,b\in S,a-b\in S,a·b\in S\)

定義

滿足如下:

  • <A, +>是阿貝爾群
  • <A - {\(\theta\)}, ·>是阿貝爾群
  • 運算 · 對運算+是可分配的

例子

  • 實數域
  • 有理數域
  • 〈Zn,+n, · n 〉是域的充要條件是n是素數

域與整環的關係

  • 域一定是整環
  • 有限整環一定是域

環的同態定義

V1=<A,*,∘>和V2=<B,⊛,◎>是兩環,其中*、∘、⊛和◎都是二元運算。f 是從AB的一個對映,使得對\(\forall\)a, b\(\in\)A有:

f(a*b)=f(a)⊛f(b)

f(ab)=f(a)◎f(b)

則稱f是環V1到環V2的同態對映

分類

如果f單射、滿射和雙射,分別稱f單同態、滿同態和同構

同態像及其特性

<f(A),⊛,◎>是<A,*,∘>的同態像

  • 任何環的同態像是環
綜合例題

設<R,+, · >是環,其乘法單位元記為1,加法單位元記為0,對於任意a,b\(\in\)R,定義

a⊕b=a+b+1,a⊙b=a·b+a+b。求證: <R, ⊕, ⊙ >也是含么環,並與<R,+, · >同構。

證明:

首先證明<R, ⊕, ⊙ >是環。

(1) <R, ⊕ >是阿貝爾群。

(2) <R, ⊙ >是含么半群。

(3) ⊙對⊕可分配,再證明同構。

(4)構造雙射f: f(a)=a-1,驗證同構性。

(1) <R, ⊕ >是阿貝爾群。

顯然R關於⊕是封閉的且⊕運算是可交換的。

結合性:對於任意的x,y,z\(\in\)R,有

(x⊕y)⊕z=(x+y+1)⊕z=x+y+z+2,而

x⊕(y⊕z )= x⊕ (y+z+1)=x+y+z+2, 即⊕運算滿足結合律。

么元:對於任意x\(\in\)R, x⊕-1= x+(-1)+1=x,-1是R關於⊕運算的么元。

逆元:對於任意x\(\in\)R, x⊕(-x-2)= x+(-x-2)+1=-1, +(-x-2)是x關於⊕運算的逆元。

所以<R, ⊕ >是阿貝爾群。

(2) <R, ⊙ >是含么半群。

顯然R關於⊙是封閉的、可交換的。

結合性:對於任意的x,y,z ÎR,有

(x ⊙ y) ⊙ z=(xy+x+y) ⊙ z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z,而

x ⊙(y ⊙ z )= x ⊙ (yz+y+z)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z, 即⊙運算滿足結合律。

么元:對於任意xÎR, x ⊙ 0=0+ x+0=x,0是R關於⊙運算的么元。

所以<R, ⊙ >是含么半群.

(3) ⊙對⊕可分配

對於任意的x,y,z\(\in\)R,有

x⊙(y⊕z )= x⊙(y+z+1)=xy+xz+x+x+y+z+1=xy+xz+2x+y+z+1

(x⊙y)⊕(x⊙z)=(xy+x+y)⊕(xz+x+z)=xy+xz+2x+y+z+1

同理可以證明右可分配性。

綜上所述, <R, ⊕, ⊙ >也是含么環

再證明同構。

構造雙射f: f(a)=a-1,驗證同構性。

(4)證明同構。建構函式f: f(x)=x-1

雙射:對於任意x\(\in\)R,則有x+1\(\in\)R,使得f(x+1)=x,所以f是滿射

x,y\(\in\)R,若f(x)=f(y),則有x-1=y-1,即x=y,所以f是單射。

同態: f(x+y)=x+y-1

f(x)⊕f(y)=(x-1)⊕(y-1)=x-1+y-1+1=x+y-1

所以f(x+y)= f(x)⊕f(y)

又因為 f(x·y)=x·y-1

f(x)⊙f(y)=(x-1) ⊙(y-1)=(x-1)· (y-1)+x-1+y-1

​ =x·y-x-y+1+x-1+y-1=x·y-1

所以f(x·y)= f(x)⊙f(y)

​ 綜上,<R, ⊕, ⊙ >與<R,+, ∘ >同構。

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