離散數學 II（知識點彙總）
代數系統
代數系統定義
一個非空集合A，連同若干個定義在該集合上的運算f1,f2,…,fk，所組成的系統就稱為一個代數系統，記作<A， f1,f2,…,fk >。
例子
例：<N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>都是代數系統,其中+和·分別表示普通加法和乘法。
例：<Mn(R),＋,·>是代數系統,其中＋和·分別表示n階(n≥2)實矩陣的加法和乘法。
例：<ρ(S),∪,∩,~ >也是代數系統，其中含有兩個二元運算∪和∩以及一個一元運算 ~。
二元運算定義
S為非空集合，從S×S->S的對映： f: S×S->S稱為集合S上的一個二元運算。
運算及其性質
二元運算的性質
封閉性
- Premise：\(*\)是定義在集合A上的二元運算， \(\forall\ x,y\in A\)
- Condition：\(\ x*y\in A\)
- Summary：\(*\)在A上是封閉的
可交換性
- Premise：\(*\)是定義在集合A上的二元運算， \(\forall\ x,y\in A\)
- Condition：\(x*y=y*x\)
- Summary：\(*\)在A上是可交換的
可結合性
- Premise：\(*\)是定義在集合A上的二元運算， \(\forall\ x,y,z\in A\)
- Condition：\((x*y)*z=x*(y*z)\)
- Summary：\(*\)在A上是可結合的
可分配性
- Premise：\(*,\triangle\)是定義在集合A上的二元運算， \(\forall\ x,y,z\in A\)
- Condition：\(x*(y\triangle z)=(x*y)\triangle (x*z)\)、\((y\triangle z)*x=(y*x)\triangle (z*x)\)
- Summary：在A上，\(*\)對於$\triangle $是可分配的
吸收律
- Premise：\(*,\triangle\)是定義在集合A上的二元運算， \(\forall\ x,y\in A\)
- Condition：\(x*(x\triangle y)=x\)、\(x\triangle (x*y)=x\)
- Summary：\(*\)和$\triangle $在A上滿足吸收律
等冪性
- Premise：設\(*\)是定義在集合A上的二元運算， \(\forall\ x\in A\)
- Condition：\(x*x=x\)
- Summary：\(*\)在A上是等冪的
消去律
- Premise：設\(*\)是定義在集合A上的二元運算， \(\forall\ x,y,z \in A\)
- Condition：（左消去律）\(x*y=x*z\Rightarrow y=z\)、（右消去律）\(y*x=z*x\Rightarrow y=z\)
- Summary：\(*\)在A上是滿足消去律的
特殊的元素性質
\(*\)是定義在集合A上的二元運算
么元
- 左么元：對於\(e_l\in A,\ \forall\ x\in A,\ e_l*x=x\)
- 右么元：對於\(e_r\in A,\ \forall\ x\in A,\ x*e_r=x\)
- 么元：對於\(e\in A\)，\(e\)既是左么元又是右么元
零元
- 左零元：對於\(\theta_l\in A,\ \forall\ x\in A,\ \theta_l*x=\theta_l\)
- 右零元：對於\(\theta_r\in A,\ \forall\ x\in A,\ x*\theta_r=\theta_r\)
- 零元：對於\(\theta\in A\)，\(e\)既是左零元又是右零元
逆元
設在代數系統\(<A,*>\)中，\(*\)為二元運算，e為A中關於\(*\)的么元，\(a,b\in A\)
- 左逆元：\(b*a=e\)，則b為a的左逆元
- 右逆元：\(a*b=e\)，則b為a的右逆元
- 逆元：b既是a的左逆元又是右逆元，則b為a的逆元，記為a-1
- 此時有a與b互為逆元
證明逆元且唯一定理
- Premise：\(\forall\ a\in A\)，e為A的逆元，\(*\)為A的二元運算
- Condition：a都有左逆元，\(*\)可結合
- Summary：a的左逆元為a的逆元且唯一
二元運算表中性質的體現
\(*\)是定義在集合A上的二元運算
- 封閉性\(\Leftrightarrow\)運算表中所有元素\(\in A\)
- 可交換性\(\Leftrightarrow\)運算表中所有元素沿對角線對稱
- 等冪性\(\Leftrightarrow\)運算表中主對角線元素等於本身
- 零元\(\Leftrightarrow\)該元素運算行列元素與其本身相同
- 么元\(\Leftrightarrow\)該元素運算行列元素與其對應的行列元素一致
- 逆元\(\Leftrightarrow\)兩元素行列相交處都是么元
半群
廣群
成立條件
- \(*\)運算封閉
半群
定義
- \(*\)運算封閉
- \(*\)運算可結合
特性
- A元素有限，則必有等冪元
證：
∵ <S, *>是半群，∴對於\(\forall\)b \(\in\)S，由運算*封閉可知:
b2=b*b\(\in\)S，b2 *b=b*b2=b3\(\in\)S ，b4，b5… \(\in\)S
∵ S有限，∴必定\(\exists\)i,j，j>ｉ，有bi=bj（第一輪）
∴ bi =bj =bj-i * bi
令p=j-i ，則有 bi =bp * bi
∴ 對任意q≥i, 有bq= bp *bq （第二輪）
又∵p≥1 ∴$\exists $k,有kp≥i，則有bkp=bp *bkp （第三輪）
由bkp=bp *bkp得： bkp=bp *bkp=bp *(bp *bkp)=…=bkp *bkp
∴令a=bkp \(\in\)S 則a*a=a，∴bkp是等冪元。
子半群
- \(B\subseteq A\)
- \(*\)在B上運算封閉
獨異點
成立條件
- 為半群
- 含么元
特性
- 運算表任意兩行兩列都不相同
證：
設獨異點中么元為e，對於任意 a,bS且a≠b，總有
（1）∵a*e=a ≠ b=b*e
由a，b任意性， 有<S, *>運算表中任兩行不同；
（2）∵e*a = a ≠ b = e*b
由a，b任意性，有<S, *>運算表中任兩列不同。
- 若a，b均有逆元，則
- \((a^{-1})^{-1}=a\)
- \(a*b\)有逆元，且\((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\)
證：
a) ∵a-1是a的逆元
∴a-1既是a的左逆元又是a的右逆元
即：a-1 *a=a *a-1=e
∴a既是a-1的右逆元又是a-1的左逆元，
∴ a是a-1的逆元 即(a-1)-1=a
b) 要證(a *b)-1=b-1 *a-1，即證b-1 *a-1為a*b的逆元。
∵(a*b) *(b-1 *a-1)=a* (b*b-1) *a-1=a*e*a-1=e
∴b-1 *a-1是a*b的右逆元，
又∵（b-1 *a-1）*（a *b）=b-1 *（a-1 *a）*b＝e
∴b-1 *a-1是a*b的左逆元，
∴(a*b)-1=b-1 *a-1
證明是半群或獨異點
按定義證明
群和子群
群
定義
- 運算封閉
- 可結合
- 存在么元e
- 對於每一個元素\(x\in G\)，存在逆元$x^{-1}
階數、有限群、無限群
如果\(<G,*>\)為群且元素有限，則稱為有限群，元素個數稱為群的階數，否則稱為無限群
1階、2階、3階、4階群
1~4階都有迴圈群，可以用mod運算推
4階還有克萊因四元群，如下
| * | e | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c |
| a | a | e | c | b |
| b | b | c | e | a |
| c | c | b | a | e |
特性
- 階大於1的群中不可能有零元
證：
（1）當群的階為1時，它的唯一元素視作么元e；
（2）設|G|>1且群<G, *>中有零元q，那麼群中
∀x∈G，*都有q*x=x*q=q ≠ e
所以零元q不存在逆元，這與<G, *>是群矛盾。
- $\forall\ a,b\in G,\ \exists\ \(唯一的\)x,\ a*x=b$
證：
（1）存在性
設群<G, *>的單位元為e，令x=a-1 *b， 則
a*x＝a*(a-1 *b)＝(a*a-1) *b＝e*b=b
所以x＝a-1 *b是方程a*x＝b的解。
（2）唯一性
若還有x′∈G， 使得a*x′=b， 則
x′=e*x′
=(a-1 *a)*x′=a-1 *(a*x′)=a-1 *b=x
故x＝a-1 *b是方程a*x＝b的唯一解。
- 滿足消去律
證：
a*b＝a*c
$\Rightarrow $ a-1 *(a*b)＝a-1 *(a*c)
$\Rightarrow $ (a-1 *a) *b＝(a-1 *a)*c
$\Rightarrow $ e*b＝e*c
$\Rightarrow $ b＝c
冪特性
- 除了么元外，不存在其他等冪元
- 關於逆元,群中任一元素逆元唯一，且有：
- \((a^{-1})^{-1}=a\)
- \((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}\)
- \((a^{n})^{-1}=(a^{-1})^n=a^{-n}\)
證：
已學定理5-2.4：設代數系統<A, *> ， A中存在么元e，且$\forall $x∈A，都存在左逆元，若*是可結合的運算，那麼<A, *> 中任何一個元素的左逆元必定也是該元素的右逆元，且每個元素的逆元唯一。
證明：
∵群滿足結合律，且群中每個元素都有逆元，
∴每個元素都有左逆元，
∴每個元素的逆元唯一。
運算表特性
- 每一行與每一列都是G元素的一個置換，沒有相同元素
- 運算表中任意兩行或者兩列都不相同
運算
AB={ab|a∈A,b∈B}
A-1={a-1|a∈A}
gA={ga|a∈A}
子群
記為H\(\leq\)G，真子群記為H<G
定義
- 為一個群的非空子集
- 也為群
判定條件
- 非空\(S\subseteq G\)，且S也是群
- 非空\(S\subseteq G\)，G為有限群，S中運算封閉
- 非空\(S\subseteq G\)，有\(a*b^{-1}\in S\)
性質
若<H, *>和<K, *>為<G, *>子群，則
- <H\(\cap\)K, *>也是子群
- <H\(\cup\)K, *>是子群 當且僅當 H\(\subseteq\)K或K\(\subseteq\)H
- HK是子群 當且僅當 HK=KH
平凡子群
\(S=\{e\}\quad OR\quad S=G\)
中心
對於\(C=\{y|y*a=a*y,y\in G\}\)，則<C, *>為子群，稱為G的中心
共軛子群
若H為G子群，則xHx-1={x*h*x-1|h ∈H}也是G的子群，稱xHx-1是H的共軛子群
阿貝爾群和迴圈群
阿貝爾群 / 交換群
定義
- 是群
- \(*\)可交換
判定
- 是群，且\(\forall\ a,b\in G,\ (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)\)
證：
充分性 即證a*b=b*a。
∵ (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 且<G,*>是群，*可結合
∴ a*(b*a)*b=a*(a*b)*b
∴ a-1 *(a*(a*b)*b)*b-1=a-1 *(a*(b*a)*b)*b-1
即有：a*b=b*a， ∴ <G,*>是阿貝爾群。
必要性 ∵ <G,*>是阿貝爾群，
∴對∀a,b∈G，有：a*b=b*a
∴ (a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)
迴圈群
定義
\(\exists\ a\in G,\ \forall\ b\in G\)，b都能表示成a的冪，a稱為生成元
特性
- 是阿貝爾群
- 如果是有限群，階數為n，則
- 么元為an
- 有\(\psi(n)\)個生成元,（尤拉函式，表示小於n且與n互質的正整數個數）
- G的其他生成元即\(a^k\)，k與n互質
- 若階數無限，則只有兩個生成元e和e-1
元素的階
定義
最小正整數k使某一元素\(a^k=e\)，則k為a的階（週期）
性質
-
ak=e \(\iff\) r | k
（k是r的整數倍，即存在整數m，使得k=rm ）
證：
充分性：r | k \(\Rightarrow\) ak=e
設 r | k，則存在整數m，使得k=rm，
ak= arm=(ar)m=em=e
必要性：ak=e \(\Rightarrow\) r | k
若ak=e，由帶餘除法，一定存在整數p,q，使得
k=pr+q(0≤q<r)，於是ak=apr+q=apr *aq=(ar)p *aq =(e)p *aq =e*aq =aq =e （ak=e）
∵ r是a的階,即使得ar=e的最小正整數
∴只有q=0才可能有aq =e， ∴ k=pr 即r | k。
- O(a)= O(a-1)（元素與其逆元的階相同）
證：
O(a)= O(a-1)（元素與其逆元的階相同）
證：∀a∈G，a的階為r, a-1的階為r’,
則 (a-1)r’=e ，ar=e
∵ (ar)-1 *ar=e 且ar=e，
∴ (ar)-1=e（ (ar)-1與e做運算=e，則(ar)-1必=e）
由紅色部分可得(ar)-1=(a-1)r’=e－－－－－①
∵ <G,*>是群，即(an)-1=(a-1)n成立，則
(ar)-1=(a-1)r 成立－－－－－②
由①②可得，(a-1)r =(a-1)r’=e
∵ 已知r’是a-1的階，即r’是使得(a-1)k =e的最小正整數，
∴ r=mr’（m為正整數),即r’|r。 (定理中的(1)剛證明過)
同理可證r|r’。
(a-1)r’= (ar’)-1=e
∵ (ar’)-1 * ar’=e
∴ ar’=e
∵ 已知r是a的階，即r是使得(a)r =e的最小正整數，
∴ r’=mr (m為正整數),即r|r’ .由r’|r與 r|r’即可證得r=r’。
- r ≤ |G|（元素的階一定小於等於群的階）
證：
一個元素a, a的階是r,且r>|G|,則由a可生成一個集合S={a,a2,a3,…,ar-1,ar}，因為運算*封閉，所以S$\subseteq \(G, 則S的元素個數小於|G|. 然後證明a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^各不相同。 若不然，假設S中存在兩個元素相同： a^i^=a^j^,其中1≤i<j≤r，就有e=a^j-i^ (1≤ j-i<r,a^i^=a^j^右側同\*a-i)，而已知r是使得a^r^=e的最小整數。 a,a^2^,a^3^,…,a^r-1^,a^r^都各不相同，即集合S的元素個數大於|G|，與S\)\subseteq $G矛盾。綜上，r≤|G|
子群性質
- 迴圈群的子群也是迴圈群
- 迴圈群是無限階的，則其子群除了{e}也是無限階的
- 迴圈群是n階的，對於每個n的因子，有且只有一個迴圈子群
置換群和伯恩賽德定理
置換
成立條件
- 對於非空集合S，\(S\rightarrow S\)的雙射稱為S的置換
運算
先運用\(\pi_2\)，再運用\(\pi_1\)
- 左複合 $\circ \(：\)\pi_1\circ\pi_2$
- 右複合 $\diamond \(：\)\pi_2\diamond\pi_1$
置換群
定義
- 具有n個元素的集合S中所有的置換組成的群\(<S_n,\circ>\)，其中元素個數有 n! 個
- 任意\(<S_n,\circ>\)的子群都是S上的置換群
對稱群
\(S_n\)稱為S的對稱群
交錯群
\(S_n\)中所有偶置換組成的群，記為\(A_n\)，\(|A_n|=n!/2\)
輪換
定義
設s是S={1,2,…,n}上的n元置換，且：
\[s(i_1)=i_2, s(i_2)=i_3, …, s(i_k-1)=i_k, s(i_k)=i_1 \]且\(\forall\ x\in S,\ x\ne i_j (j=1,2,…,k)\)，有 s(x)=x（即s 不改變其餘元素），稱s是S上的一個k階輪換, 當k=2, s也稱為對換。
記法
\((i_1,i_2,...,i_k)\)
對換
定義
k=2時
性質
-
任意輪換可以寫成對換的乘積。即
(a1 a2…ar)＝(a1 ar)(a1 ar-１)…(a1 a3)(a1 a2)
誘導的二元關係
定義
設\(<G,\circ>\)為S的一個置換群，則其誘導的二元關係有
\[R=\{<a,b>|\pi(a)=b,\ \pi\in G\} \]
性質
- 是一個等價關係（條件：自反性、對稱性、傳遞性）
三元素集的置換群
對稱群
S3={ (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }
交錯群
A3={ (1), (1 2 3), (1 3 2) }
伯恩賽德定理
\(\pi\)是劃分S的置換群的一個置換，\(\phi(\pi)\)指置換中不變元個數
陪集和拉格朗日定理
陪集
定義
設H是G的子群，\(a\in G\)，則
- aH={a*h|h∈H} H關於a的左陪集
- Ha={h*a|h∈H} H關於a的右陪集
a稱為陪集的代表元素
性質
元素\(\Rightarrow\)陪集
-
陪集元素個數相等，\(\forall a\in G\)，|aH|=|H|
-
a∈H$\iff $aH=H，Ha=H
-
a∈aH
-
b∈aH $\iff $ bH=aH
陪集與陪集
- aH和bH關係只有兩種
- aH∩bH=\(\varnothing\)（Ha∩Hb=\(\varnothing\)）
- aH=bH（Ha=Hb）
陪集\(\Rightarrow\)元素，a/b屬於同一陪集
- aRb \(\iff\) a-1 *b∈H \(\iff\) b∈aH \(\iff\) aH=bH
所有左陪集的集合∑剛好是G的一個劃分
特殊關係
劃分
- 每個元素非空。不存在空塊
- 所有元素並集為G
- 任兩個元素交集為空
等價關係
關係R滿足自反、對稱、傳遞
- 若<x,y>\(\in\)R，稱x等價於y，記作x~y
等價類
有等價關係的元素組成的一個集合，記為[a]R
- a稱為[a]R的代表元素
商集 A/R
以R的所有等價類作為元素的集合稱為A關於R的商集
子群的指數
G對H的陪集的集合的基數，即陪集的數目，記為[G:H ]
拉格朗日定理
H為G的子群，則：
- R={<a,b>|a∈G,b∈G且a-1 *b∈H}是G上的一個等價關係。對於a∈G，若記[a]R={x|x∈G且<a,x>∈R}，則[a]R=aH
- 如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，則m|n。
推論
- 素數階群的子群一定是平凡群。（素數階的群不存在非平凡子群）
- 設<G,*>是n階群，則對任意a∈G，有an=e
- 有限群中，元素的階能整除群的階
- 素數階群一定是迴圈群，且每個非么元均為生成元
正規子群和商群
正規子群 / 不變子群
定義
H\(\leq\)G，\(\forall g\in G\)，gH=Hg，記為H\(\unlhd\)G
判別
\(\forall a\in G\)，
- aH=Ha，（即H\(\unlhd\)G）
- \(\forall h\in H\)，aha-1\(\in\)H
- aHa-1\(\subseteq\)H
- aHa-1=H
如果G是交換群，則G的任何子群都是正規子群
[G:H]=2 ， 則H是G的正規子群
單群
G除了平凡子群外無其他正規子群
性質
- 正規子群與子群的乘積是子群
- 正規子群與正規子群的乘積是正規子群
- 無傳遞性
商群
運算
在G/H上定義陪集乘法運算∙，對於任意aH,bH∈G/H, 有
定義
設G為群，H為正規子群，則G/H關於運算∙構成一個群，稱為G的商群
性質
- 商群G/H的單位元是eH（=H）
- 在G/H中aH的逆元是a-1H
推論
- 若G是交換群，G/H也是交換群
- 商群的階是G階數的因子
同態與同構
同態對映 / 同態 ~
定義
<A,\(\star\)>與<B,*>滿足\(f(a_1\star a_2)=f(a_1)*f(a_2)\)
稱 f 為同態對映 / 同態，<A,\(\star\)>同態於<B,*>
記為 A~B
同態象
<f(A), *>為<A,\(\star\)>的一個同態象
自然同態
群G到商群G/H的同態，為 a\(\rightarrow\)aH
分類
- f:A\(\rightarrow\)B 為滿射，f 稱為滿同態
- f:A\(\rightarrow\)B 為入射，f 稱為單一同態
- f:A\(\rightarrow\)B 為雙射，f 稱為同構對映
同構
f 為同構對映時，稱<A,\(\star\)>與<B,*>同構，記為A\(\cong\)B
- 同構關係是等價關係
凱萊定理
任何一個有限群同構於一個置換群。
置換群即運算表中所有行 OR 所有列。
自同態 / 自同構
自身到自身的對映
同態對映性質
在 f 作用下
- <A, $\star $>的所有性質在同態象上保留
- 若同構，則<B, *>擁有<A, $\star $>的所有性質
同態核
定義
A中元素對映 f 後為么元。記為 Ker(f)，稱為 f 的同態核
Ker(f) = {x|x∈G且f(x)=e’}
性質
- 同態核N為A的正規子群
- f 為單同態 \(\iff\) Ker(f)={e}
- 若Ker(f)=N ，則 f(a)=f(b) \(\iff\) aN=bN
同態基本定理
- 若 f 為A到B的滿同態，Ker(f)=N，則A/N\(\cong\)B
- 若h為A自然同態，存在A/N到B的同構g，有f=gh
第一同構定理 / 商群同構定理
- 若 f 為A到B的滿同態，Ker(f)=N，H\(\unlhd\)A 且 N\(\subseteq\)H
- 則 A/H \(\cong\) B/f(H)
- 若 H\(\unlhd\)A 且 K\(\unlhd\)A 且 K\(\subseteq\)H
- 則 A/H \(\cong\) (A/K) / (H/K)
環與域
定義
對於<A, +, ·>有兩種二元運算的代數系統
<A, +>是阿貝爾群
<A, ·>是半群
運算 · 對於 + 是可分配的，即\(\forall a,b,c\in A\)：
a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
(b+c)·a=(b·a)+(c·a)
為了區別環中的兩個運算，通常稱＋運算為環中的加法，·運算為環中的乘法。
零元
加法單位元，記為0(\(\theta\))
單位元
乘法單位元，記為1
負元
加法逆元，記為-x
逆元
乘法逆元，記為x-1
例子
- <R,＋,·> 實數環
- <Q,＋,·> 有理數環
- <I,＋,·> 整數環
- <Mn(I),＋, ·> n階整數矩陣環
- <Nk , ＋k , ×k> 模k整數環
- <Z[i], ＋, ·>(Z[i]=a+bi,a,b\(\in\)Z,i2=-1) 高斯整數環 (複數)
- <R[x] ,＋, ·> R[x]為實數多項式
性質
與理解的加法乘法相同，消去律不一定
- a·\(\theta\)=\(\theta\)·a=\(\theta\)
- a·(–b)=(–a)·b = –(a·b)
- (–a)·(–b)=a·b
- a·(b–c)=(a·b)–(a·c)
- (b–c)·a=(b·a)– (c·a)
特殊環
交換環
<A, · >可交換
含么環
<A, · >含么元
無零因子環
（等價於乘法消去律）
\(\forall a,b\in A, a\neq\theta, b\neq \theta\)，則必有\(a·b\neq\theta\)
零因子
若\(a,b\in A, a\neq\theta, b\neq \theta\)，有\(a·b=\theta\)，則a或b為零因子
整環
定義
（基於乘法運算的性質）
交換、無零因子 OR 含么、無零因子
即同時滿足交換環、含么環和無零因子環的條件
子環
定義
環的子集，也是環
判定定理
\(\forall a,b\in S,a-b\in S,a·b\in S\)
域
定義
滿足如下：
- <A, +>是阿貝爾群
- <A - {\(\theta\)}, ·>是阿貝爾群
- 運算 · 對運算＋是可分配的
例子
- 實數域
- 有理數域
- 〈Zn,+n, · n 〉是域的充要條件是n是素數
域與整環的關係
- 域一定是整環
- 有限整環一定是域
環的同態定義
設V1=<A,*,∘>和V2=<B,⊛,◎>是兩環，其中*、∘、⊛和◎都是二元運算。f 是從A到B的一個對映，使得對\(\forall\)a, b\(\in\)A有：
f(a*b)=f(a)⊛f(b)
f(a∘b)=f(a)◎f(b)
則稱f是環V1到環V2的同態對映
分類
如果f是單射、滿射和雙射，分別稱f是單同態、滿同態和同構
同態像及其特性
<f(A),⊛,◎>是<A,*,∘>的同態像。
- 任何環的同態像是環
綜合例題
設<R,+, · >是環，其乘法單位元記為1，加法單位元記為0，對於任意a,b\(\in\)R,定義
a⊕b=a+b+1,a⊙b=a·b+a+b。求證： <R, ⊕, ⊙ >也是含么環，並與<R,+, · >同構。
證明：
首先證明<R, ⊕, ⊙ >是環。
（1） <R, ⊕ >是阿貝爾群。
（2） <R, ⊙ >是含么半群。
（3） ⊙對⊕可分配，再證明同構。
（4）構造雙射f: f(a)=a-1,驗證同構性。
（1） <R, ⊕ >是阿貝爾群。
顯然R關於⊕是封閉的且⊕運算是可交換的。
結合性：對於任意的x,y,z\(\in\)R,有
(x⊕y)⊕z=(x+y+1)⊕z=x+y+z+2,而
x⊕(y⊕z )= x⊕ (y+z+1)=x+y+z+2, 即⊕運算滿足結合律。
么元：對於任意x\(\in\)R， x⊕-1= x+(-1)+1=x,-1是R關於⊕運算的么元。
逆元：對於任意x\(\in\)R， x⊕（-x-2)= x+(-x-2)+1=-1, +(-x-2)是x關於⊕運算的逆元。
所以<R, ⊕ >是阿貝爾群。
（2） <R, ⊙ >是含么半群。
顯然R關於⊙是封閉的、可交換的。
結合性：對於任意的x,y,z ÎR,有
(x ⊙ y) ⊙ z=(xy+x+y) ⊙ z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z,而
x ⊙(y ⊙ z )= x ⊙ (yz+y+z)=xyz+xy+xz+yz+x+y+z, 即⊙運算滿足結合律。
么元：對於任意xÎR， x ⊙ 0=0+ x+0=x，0是R關於⊙運算的么元。
所以<R, ⊙ >是含么半群.
（3） ⊙對⊕可分配
對於任意的x,y,z\(\in\)R,有
x⊙(y⊕z )= x⊙(y+z+1)=xy+xz+x+x+y+z+1=xy+xz+2x+y+z+1
(x⊙y)⊕(x⊙z)=(xy+x+y)⊕(xz+x+z)=xy+xz+2x+y+z+1
同理可以證明右可分配性。
綜上所述， <R, ⊕, ⊙ >也是含么環
再證明同構。
構造雙射f: f(a)=a-1,驗證同構性。
（4）證明同構。建構函式f: f(x)=x-1
雙射：對於任意x\(\in\)R,則有x+1\(\in\)R，使得f(x+1)=x，所以f是滿射
x，y\(\in\)R,若f(x)=f(y),則有x-1=y-1,即x=y,所以f是單射。
同態： f(x+y)=x+y-1
f(x)⊕f(y)=(x-1)⊕(y-1)=x-1+y-1+1=x+y-1
所以f(x+y)= f(x)⊕f(y)
又因為 f(x·y)=x·y-1
f(x)⊙f(y)=(x-1) ⊙(y-1)=(x-1)· (y-1)+x-1+y-1
=x·y-x-y+1+x-1+y-1=x·y-1
所以f(x·y)= f(x)⊙f(y)
綜上，<R, ⊕, ⊙ >與<R,+, ∘ >同構。