二進位制的定義
人類發明0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數字，大概率是因為我們有十個手指。假如我們把這種計數方式稱為十進位制計數法，然後我們來到了一個世界，那裡面的人只有2個手指。我們該如何用十進位制的思想去用創造出二進位制呢。
簡單約定一下，後面用下標表示進位制，比如\(10_2\)表示二進位制，而\(10_{10}\)表示十進位制。
首先，我們能用的數字只有0,1這2個，忘掉十進位制中其餘的數字。那麼我們如何計數呢？以數蘋果為例，在十進位制中，我們數到第\(9_{10}\)個蘋果的時候，我們需要做一個操作就是進位，然後低位置為0。現在來到二進位制，我們如何表示下面蘋果的數量：
需要注意的是，二進位制中只有0,1，當我們數到第\(1_2\)個蘋果的時候，我們需要做的也是進位。類似地，我們會得到\(10_2\)，繼續數下去，就是\(11_2\)，所以答案就是這裡有\(11_2\)個蘋果。
對於一個十進位制數，我們知道它有個位，十位，百位，千位，萬位……，其實這些位代表的就是\(10^n\)。比如個位是\(10^0\)，十位是\(10^1\)，百位是\(10^2\)，對於一個數\(123_{10}\)，我們可以說它的個位是3，十位是2，百位是1，那麼我們可以通過這樣計算來得到：
於是，對於十進位制，我們可以抽象出下面的公式：
那麼，對於二進位制，我們自然而然可以得到下面的公式（需要注意的是，下面公式右邊的10其實是\(10_2\)）：
公式右邊的10我們稱之為基底，十進位制的基低是\(10_{10}\)，二進位制的基低是\(10_{2}\)。
二進位制轉十進位制
對於二進位制，我們已經得到這樣的公式：
由於二進位制中的0,1和十進位制中的0,1的含義是一樣的，並且二進位制中的\(10_2\)等價於十進位制中的\(2_{10}\)，而\(x_i\)（公式右側）在二進位制中只有可能是0,1，所以我們可以作如下推導：
於是我們可以用十進位制的方式去表達二進位制：
我們可以驗證一下：
所以二進位制的\(11_2\)等價於十進位制的\(3_{10}\)，他們都表示上圖中蘋果的數量。
二進位制的加法運算
二進位制的加減法運算，也可以用十進位制的思想來做，首先通過上面例子我們知道\(1_2\)個蘋果加上\(1_2\)個蘋果等於\(10_2\)個蘋果，也就是說在二進位制中1+1=10。基於這個條件，我們分別來計算1001+0101和1011+0111。
首先看1001+0101，我們列出下面的式子，然後用十進位制加法的思想去做，可以得到結果是1110：
然後來看1011+0111，我們也可以列出下面的式子，用同樣的方法去做，但是這邊最後發生了進位，所以結果是10010：
我們可以轉成十進位制來驗算一下，結果是沒問題的。那麼減法也可以用類似的思想來做。
計算機中二進位制的表示
由於二進位制只能由0,1組成，那麼對於\(n\)位的二進位制數，我們有\(2^n\)中組合：從\(000...0\)到\(111...1\)。所以一個\(n\)位二進位制數的表示範圍是\(0 \to 2^n\)（這裡的\(2^n\)是十進位制）。
那麼如何表示負數呢？可能有人會說前面加個-號，和我們平時表示的方式一樣。
其實通過前面的課程我們知道，我們用電路的通斷來表示1或者0，電路連通的時候為1，斷開的時候為0，只有這兩種狀態，沒有第三種。所以-號其實是無法在計算機中表示出來的。
為此，前輩們想出了有符號數，即把二進位制的第一位拿出來作為符號位，1表示負數，0表示正數，剩下的來表示具體的數值。
但是如果負數僅僅用第一位符號位來指示，可能還會遇到很多麻煩：比我們知道十進位制中\((-3)+3=0\)，這時候我們轉化為4位的二進位制（第一位為符號位）可以得到\(1011_2+0011_2\)，結果是\(1011_2+0011_2=1110_2\)，如果\(1110_2\)我們仍然把第一位解釋成符號位，那麼轉換成十進位制，就得到了\((-3)+3=-6\)，這顯然是不對的。
那麼如何讓\(1011_2+0011_2=0000_2\)呢？在上面加法的例子中，我們還記得\(1011+0111=10010\)，這裡發生了進位，也就是2個四位數的二進位制相加，得到一個五位數的二進位制數。那麼在計算機中，假如我們設計的計算機只能表示4位的二進位制數，那麼最終的結果也只能有4位，也就是在該計算機中，我們會得到\(1011+0111=0010\)（最高位1丟棄了）。
基於這個特性，我們可以這樣設計負的二進位制數，假設這裡計算機只能表示4位二進位制數，並且\(0011_2\)的負數設為\(x\)，我們需要得到\(0011_2+x=0000_2\)，又因為該計算機只能表示4位數，所以在該計算機中，\(0000_2=10000_2\)，注意後面是一個5位二進位制數。所以，我們可以這樣去設計\(x\)，使得\(0011_2+x=10000_2\)，得到\(x=1101\)。我們再來驗算一下：\(0011_2+1101_2=10000_2 \Rightarrow 0000_2\)，於是我們可以說，在該計算機中\(0011_2+1101_2=0000_2\)是成立的。
補碼
上面這種二進位制的表示法，我們就稱之為補碼表示法。
總結一下，可以得到如下的定義（假設計算機能表示的二進位制數為\(n\)位）：
最高位的含義
我們現在知道了補碼的定義，那麼在補碼中，任何符號位為0的整數都能得到符號位為1的負數嗎？我們可以簡單證明一下：
假設有\(n\)位的二進位制數\(x_nx_{n-1}x_{n-2}x_{n-3}...x_2x_1\)，且最高位為符號位，所以其數值部分為\(x_{n-1}x_{n-2}x_{n-3}...x_2x_1\)。我們設\(x_{n-1}x_{n-2}x_{n-3}...x_2x_1\)為\(t\)，那麼\(-t\)可以表示為\(2^n-t\)，而\(2^n \Rightarrow 100...0\left(n個0\right)\)，所以我們可以列出下面的式子：
我們設結果為\(r_{n+1}r_nr_{n-1}r_{n-2}r_{n-3}...r_2r_1\)，當\(t\)不為0的時候，不管是哪一位不為0，我們做減法的時候肯定會向前借位，但是因為\(2^n\)只有第\(n+1\)位為1，所以只能向前傳遞，借第\(n+1\)位的1。但是因為\(t\)中的\(n+1\)位恆為0，所以我們可以得到\(r_{n+1}=0\)，同理\(r_{n}=1\)。所以對於任意的符號位為0的正數，其補碼都是符號位為1的負數。
這裡面有個特殊情況，對於0來說，是不分正負的，而且\(0+0=0\)，那麼0到底是+0還是-0呢，也就是說0的最高位應該是什麼？
我們先來看+0，由於+0所有位都是0，所以\((+0)+(+0)=(+0)\)，是沒有問題的。但是對於-0來說就不是這樣了，由於-0的最高位為1，所以當\((-0)+(-0)\)之後，最高位變成了0，並且發生了進位，並且進位被丟棄（前面講過），於是我們得到\((-0)+(-0)=(+0)\)，這顯然不太對，直覺告訴我們應該用+0來表示0。
那麼當最高位為1，其餘位都是0的時候，這個數字代表什麼呢？
還記得我們得出補碼的過程嗎，我們是用\(2^n-x\)算出來的。那麼對於最高位為1的\(n位\)二進位制數來說，其我們可以用十進位制數\(2^{n-1}\)來表示他的值，通過計算\(2^n-2^{n-1}\)我們可以得到他的正數表示也是\(2^{n-1}\)，所以當一個\(n\)位二進位制數的最高位為1，其餘位全是0的時候，他的值就是\(\left(-2^{n-1}\right)\)。
以一個4位二進位制數為例：
| 正數 | 負數 |
|---|---|
| 0 0000 | |
| 1 0001 | 1111 -1 |
| 2 0010 | 1110 -2 |
| 3 0011 | 1101 -3 |
| 4 0100 | 1100 -4 |
| 5 0101 | 1011 -5 |
| 6 0110 | 1010 -6 |
| 7 0111 | 1001 -7 |
| 1000 -8 |
用加法代替減法
前面補碼的定義可知，一個\(n\)位的二進位制正數\(x\)的負數我們可以用\(x_補 \Rightarrow 2^n - x\)來表示。假如我們要計算\(t-x\)，我們可以作如下推斷：
那麼當\(x\)是負數的時候呢？類似地，我們可以得到：
這裡的\(|x|\)表示\(x\)的絕對值，我們知道，當\(x\)為負數的時候，其絕對值就是他的補碼。
綜上所述，不論\(x\)是正的還是負的，我們都可以用其補碼來實現用加法代替減法的操作。
總結
最高位作為符號位是一個很巧妙的設計，對於\(n\)位的二進位制數\(x_nx_{n-1}x_{n-2}x_{n-3}...x_1x_0\)來說，他們的數值部分都是\(x_{n-1}x_{n-2}x_{n-2}...x_1x_0\)，相當於正好把取值範圍一分為二，一半給了正數，一半給了負數。
補碼的引入也非常合理，最高位不僅可以作為符號位表示數字的正負，並且也可以參與計算、實現用加法代替減法。