On The Infinite 論 無 窮（一） 作者：希爾伯特

本文譯者為齊民友老師，受齊老師託付，釋出在圖靈社群，歡迎大家批評和指正。
本文分兩部分發在圖靈社群，此為第一部分。

¹魏爾斯特拉斯的深刻批判，為數學分析建立了穩固的基礎。通過闡明許多概念，特別是最小、函式和微商，他消除了無窮小量微積分中存在的缺陷，理清了有關無窮小量的所有混淆概念，從而完全解決了這一概念帶來的難題。如果說今天的數學分析已經一致認同了以無理數和極限概念為基礎的演繹方法，甚至說在微分方程和積分方程理論最複雜的問題中，哪怕是用到了各種極限的最巧妙多變的組合，所得到的結果也能得到完全一致的認可，那麼這種令人愉悅的狀況，應該歸功於魏爾斯特拉斯的科學工作。

¹ 本文是希爾伯特1925年6月4日在威斯特伐利亞數學學會（Westphalian Mathematical Society）為紀念卡爾•魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）於明斯特召開的會議上的演說，發表在Mathematische Annalen（vol.95(1926), pp.161-190）。這裡的文字是由Erna Putnam 和 Gerald J. Massey翻譯成英文的，收錄在由Paul Benacerraf和Hilary Putnam 主編的文集Philosophy of mathematics中。感謝Mathematische Annalen的出版者Springer Verlag允許採用文集和翻譯本文。

然而，儘管魏爾斯特拉斯為無窮小量微積分提供了基礎，但關於數學分析基礎的爭論仍然在繼續。

這些爭論之所以沒有終止，是因為無窮在數學上的意義從未完全闡述清楚過。魏爾斯特拉斯的分析通過把關於無窮大和無窮小的命題簡化成有窮量間的關係[的命題]，的確迴避了無窮大和無窮小的概念，但無窮一詞仍然出現在定義實數的無窮值級數和實數系的概念中，而實數系被看成了一個完整存在的整體。

魏爾斯特拉斯在他的數學分析基礎研究中，毫無保留地接受並反覆使用了用到無窮概念的邏輯演繹形式，例如他在探討所有（即∀）具有某種性質的實數，或者論證存在（即∃）具有某種性質的實數時。

這樣，無窮的概念就以另一種形式重現在了魏爾斯特拉斯的理論中，從而避開了在其批判中對無窮所要求的精確性。所以，我們需要在這個意義下一勞永逸地解決無窮的問題。正如在無窮小量微積分的極限過程中，談及無窮大和無窮小時，無窮只不過是一種說法，我們也必須認識到，在演繹方法中把無窮作為一個整體時，它只不過是一種幻象。正如無窮小量的運算被有窮量的運算所代替，產生出完全一樣的結果，和同樣優雅的形式關係，一般來說，基於無窮的演繹方法也必須被有限過程所替代，併產生完全相同的結果；也就是說，可以得到同樣的證明鏈，以及相同的方法獲得公式和定理。

我的理論的目標是徹底地建立起數學方法的確定性。這是一項甚至在無窮小量微積分的關鍵時期都沒有完成的工作。所以，這個理論應該完成魏爾斯特拉斯想通過其數學分析基礎去實現的目標，而他已經朝著這一目標邁出了重要的一步。

但是，更普遍的觀點依然與澄清無窮這一概念相關。細心的讀者會發現，數學文獻中不乏滿紙荒唐言的蠢話，而它們都源於無窮。例如，有一些作者堅持認為嚴格數學的證明中只允許用有限次演繹（似乎要把這當作一個限制條件），好像有人成功用過無窮次演繹一樣。

一些我們認為廢棄已久的反對意見仍然以不同形式重現。例如近來發生的事情：雖然可以無風險即不會產生矛盾地引入概念，甚至可以證明這種引入不會引起矛盾，但是仍然不能以此為理由來引入概念。這與反對復虛數的異議不是異曲同工嗎？曾有人指出：“的確，引入復虛數沒有導致矛盾，但是因為虛數並不存在，所以引入復虛數仍然是沒有根據的。”除了證明一致性，如果一種手段的正當性問題具有意義，則只能是確定它是否會獲得相應的成功。事實上，這種成功至關重要，因為在數學裡和在其他領域一樣，成功是讓所有人都心悅誠服的“最高法庭”。

一些人好像看到了鬼魂，而有一位作者看到了矛盾，即使沒有給出任何命題：在感覺的現實世界中，他將“一致性功能”作為了特殊的假設。但我總是認為，只有命題，或者假設通過演繹得到了命題，才可能與另一個命題發生矛盾。在我看來，認為事實和事件本身就有矛盾，是典型的思想不嚴密。

以上的評論只不過是為了確定一個事實：對無窮的本質做出確定性的澄清，而不是侷限於特定科學領域的闡述，是人類智慧的尊嚴。

從遠古時代起，無窮就比任何其他問題更能擾動人類的感情。幾乎沒有任何其他的思想像它那樣卓有成效地刺激人類的心智。然而，也沒有其他任何一種概念比它更需要澄清。

在澄清無窮的本質之前，要簡明地說說我們現在賦予無窮的實際意義究竟是什麼。首先來看一下我們從物理學可以學到些什麼。對於自然事件和物質，我們的第一個樸素印象就是其恆久性，亦即連續性。當考慮一塊金屬或者一些的液體時，我們的印象是，它們可以無限地分割，其最小的部分具有與其整體一樣的性質。但是，在研究物質的物理學方法充分精細後，科學家們就遇到了可分性的界限，這界限並不是來自研究的不深入，而是來自事物的本性。由此，我們甚至可以把現代科學的這個趨勢解釋為從無窮小的概念中解放出來。相對古老的原理natura non facit saltus ² ，我們甚至可以給出相反的斷言——“大自然會跳躍”。

² 拉丁文，意思是“大自然不會跳躍”。——中譯者注

眾所周知，所有的物質都是由稱為“原子”的微小構件組成的，它們的組合和連線產生了多樣性的巨集觀物體。但物理學並未止於物質的原子學說，上世紀末³出現了初看相當離奇的電的原子學說。在那以前，電曾被想象為一種流體，曾被作為連續的活性劑的模型，然後它被證明是由正負電子構成的。除了物質和電，物理學中還有一種遵循守恆定律的實體，那就是能量。但是也已證實了，即使能量也並非無條件地允許無窮可分性。普朗克發現了能量量子。

³ 指19世紀末。——中譯者注

所以，在現實中並沒有發現允許分割為無窮小量的那種均勻連續體。連續體的無窮可分性僅是我們的一種思想操作。事實上，它只是一個想法，會受到我們觀察自然的結果以及物理學和化學的實驗結果的質疑。

在自然界是否能發現無窮，我們遇到這個問題的第二個地方是把宇宙看成一個整體。這裡我們需要考慮宇宙的廣袤以確定它是否包含了無窮大的東西。但是，現代科學特別是天文學又一次提出了這個問題，並基於實驗和應用自然界規律，而不是騙人的形而上學思辨來解決這個問題。在這裡也能找到對無窮的嚴肅反對。歐氏幾何必然引出空間為無窮的公設。歐氏幾何雖然是個一致的概念體系，但不能由此得到它在現實中就是成立的結論。現實空間是否就是歐氏空間只能通過觀察和實驗來確定。用純粹的思辨來證明空間的無窮性存在嚴重的錯誤。從某個空間之外還有更大空間的事實出來，僅能說明空間無界，但不能說明空間是無窮的。無界性和有窮性並不矛盾。在所謂橢圓幾何學中，數學研究給出了有窮宇宙的自然的模型。今天，放棄歐氏幾何不再只是來自數學或哲學上的思辨，而是來自原本與宇宙的有窮性並無關係的考量。愛因斯坦證明了必須放棄歐氏幾何。在其引力理論的基礎上，他處理了宇宙學問題，而且指出有窮宇宙是可能的。此外，天文學的所有結果都與宇宙是橢圓形的公設完全相容。

我們已經在兩個方向上，即無窮小和無窮大 ⁴，確定了宇宙是有窮的。然而，在我們的思想中，仍然認為無窮還有其合理性，而且是個不可或缺的概念。我們來看看數學中的情況。我們先來探討人類心智中最純潔的產物，即數論。在數論極其豐富的初等公式中，我們任意取一個，例如
⁴前者是說，由於原子學說，在物質的結構上不會出現無窮小；後者則說，由於天文學的發展，空間結構也不會出現無窮大。——中譯者注

1²+2²+3²+⋯+n²=n(n+1)(2n+1)/6.

因為 n 可以取任意整數，例如 n=2 或者 n=5，所以這個公式隱性地包含了無窮多個命題。這個特性對公式至關重要，使它能夠表示一個算術問題的解，並且需要特別的想法來證明它。另一方面，單個的數值方程

1²+2²=2⋅3⋅5/6，
1²+2²+3²+4²+5²=5⋅6⋅11/6"

可以簡單地用計算來驗證，因此每一個並沒有特別的意義。

在重要而且富有成果的理想元素方法中，我們看到了無窮還有一個完全不同且非常獨特的概念。理想元素方法甚至在初等平面幾何中也會用到。平面上的點和直線本是很實在、真正存在的物件。一個適用於它們的公理是連線公理 ⁵：通過兩點有且僅有一條直線。從這個公理又得出，兩條直線相交至多隻有一個交點。然而，並沒有哪個定理說兩條直線必定相交於某點，因為它們很可能是平行的。我們也知道，通過引入理想元素，即無窮長直線和無窮遠點，就能夠使“兩條直線總是交於某點且只能交於一點”的命題恆為真。這些理想的“無窮”元素的好處是，使連線公理體系儘可能地簡單易懂。此外，由於點與直線之間的對稱性，就可以得出非常富有成果的幾何學對偶性原理。

⁵希爾伯特在他的《幾何基礎》一書中稱其為結合公理（axiom of incidence）。——中譯者注

另一個應用理想元素的例子是在代數中，這就是我們所熟悉的復虛數量，用來簡化一個方程的根是否存在與有幾個根的定理。

正如無窮多條直線（就是那些平行的直線）可以用來在幾何學中定義一個理想點一樣，無窮多個數也可以用來定義一個理想數。理想元素的這個應用原則是其一切應用中最巧妙的一個。如果我們在代數中系統地應用這個原則，就可知同樣簡單的除法法則對於整數1, 2, 3, 4, …也都成立。我們也就進入了高等數論的領域。

現在，我們來討論在數學中最具美學、最為精巧的領域，即分析。你們都知道，無窮在分析中起著主導作用。在某種意義上，數學分析就是以無窮為主旋律的交響樂。

無窮小量微積分能取得巨大進步，主要是由於對無窮多個元素所構成的數學系統進行操作。但是，由於將無窮認為是極其大貌似很合理，因此很快就出現了不一致，這就是為古代詭辯論者所熟知的招式，即所謂的無窮小演算悖論。但是，許多在有窮情況下成立的定理（例如部分小於整體、存在最大值和最小值、和與積中各項次序的互換性，等等）都不能直接而且無限制地推廣到無窮的情況，認識到這一點是個巨大的進步。我在本文開始處就提到過，主要由於魏爾斯特拉斯的敏銳，這些問題已經完全闡述清楚了。今天，數學分析不僅在其領域裡絕對可靠，而且已經成了應用無窮的實用工具。

但是，僅憑數學分析並不能為我們提供關於無窮的本質的最深刻洞察。這個洞察是由另一學科完成的，它更接近一般的哲學思維方式，意在為關於無窮的整個複雜問題給出一種新的視角。這個學科就是集合論，由喬治•康托爾創立。本文中，我們只關注這個學科最獨特、最有創造性的部分，它構成了康托爾學說的核心，即超窮數理論。我以為，這個理論是數學天才最精巧的產物，是人類的純粹心智活動的最高成就之一。那麼，這個理論是什麼呢？

有些人想簡單地刻畫康托爾所引進的新的無窮概念，他們可能會說，我們在數學分析中只不過把無窮大量和無窮小量當作極限的概念進行處理，作為不斷變化和發生的東西，也就是潛無窮。但是，這種無窮並不是真實的無窮。當把數1, 2, 3, 4,…的全體作為一個整體，或者把區間上的點看成同時存在的整體時，我們就遇到了真實的無窮。這類無窮稱為實無窮。

弗雷格和戴德金這兩位在數學基礎上聲名遠播的數學家，獨立地應用實無窮為算術提供了基礎，而算術與直覺和經驗都無關。這個基礎僅僅基於純粹的邏輯，只用到純粹邏輯的推演。戴德金甚至不從直覺匯出有窮數，而是從無窮集合的概念邏輯地匯出有窮數。系統地發展了實無窮概念的是康托爾。考慮兩個關於無窮的例子：

1. 1, 2, 3, 4,…
2. 0到1區間中的所有的點，也就是0和1之間的全體實數。

從這兩個集合的大小來看待這兩個例子是很自然的事。但是，這樣的處理揭露了一些當今數學家都熟知的結果。因為當我們考慮0與1之間的所有有理數的集合，也就是分數1/2, 1 /3, 2/3, 1/4,…, 3/7,…的集合時，我們就會注意到，如果僅從集合的大小來看，這個集合並不比第一個例子中的所有正整數的集合更大。所以，我們說有理數可以按照通常的方法來計數，或者說它們是可數的。所有正整數的各階根的集合也是可數的，所有的代數數的集合亦復如此。第二個例子與此相類，但是出現了令人吃驚的情況：一個正方形或正方體中的所有點的集合不比0到1區間中所有點的集合更大。所有連續函式的集合也是這樣。當你第一次學習這些時，可能會以為從集合大小的觀點來看就只有唯一的一個無窮。不對，確實不對！我們一般的說法是，1和2兩個例子中的集合是不等價的（non-equivalent）。而是，第二個集合是不可數的，因為它比第一個集合更大。在這裡，我們遇到了康托爾理論中更能表示其特徵的新東西。一個區間裡的點不能用通常的方法來計數，就是不能像1, 2, 3, …那樣計數。但是，既然我們已經承認了實無窮，就沒有必要止步於這兩個例子。當我們對1, 2, 3, …計數後，就可以把這些已經計數了的物件視為以某種次序同時存在的無窮集合。如果我們像康托爾那樣，稱這個集合為具有型⁶ 為 ω 的次序。然後，我們自然地計數下去，得到 ω+1,ω+2,⋯，直到 ω+ω（即 ω⋅2）。再往下有

⁶準確些說是序型。——中譯者注

(ω⋅2)+1, (ω⋅2)+2, (ω⋅2)+3, (ω⋅2)+ω（即(ω⋅3)），

進一步有

ω⋅2， ω⋅3， ω⋅4， ω⋅ω， ω² +1，⋯

最後，我們就會得到下面的表：

這就是康托爾造出了次序最靠前的第一批超窮數（transfinite number），康托爾稱它們為第二類數（numbers of the second class）。我們得到它們只是簡單地把計數推廣到通常的可數無窮之外，這是通常有窮計數的一種自然且唯一可確定連續一致性的推廣。迄今為止，我們只是計數到集合的第一個、第二個、第三個……元素，還未計數其第 ω 個、第 ω+1 個……，以至第 ω^ω 個元素，等等。

區得這樣的一些進展後，我們就會想，用這些超窮數是否能夠真正對所有那些不能用通常方法計數的集合進行計數。

在這些概念的基礎上，康托爾相當成功地發展了超窮數的理論，並且發明了超窮數的完整計算。這樣，由於弗雷格、戴德金和康托爾的赫拉克勒斯⁷ 式的合作，無窮成了王者，享受到偉大勝利的榮耀。它振翅沖天，達到了令人眩目的頂峰！

⁷ Hercules，希臘神話中的大力神，他完成了十二項被認為不可能的業績，包括解救普羅米修斯。——中譯者注

但是，反對意見也不少。事實上，它們是以一種非常戲劇化的方式出現的，完全類似於反對無窮小量微積分的方式。數學家會沉浸在發現新的重要結果的歡樂中，完全沒有注意到其推導方法的有效性問題。但是，只要應用了當時常見的定義和演繹方法，矛盾就逐漸出現了。這些矛盾，即所謂的集合論的悖論，雖然一開始只是零散的，卻逐漸變得更加尖銳、更加嚴重了。特別是由策梅洛和羅素所發現的那個矛盾，在被整個數學界所知後，產生了徹底的災難性後果。面對這些悖論，戴德金和弗雷格完全放棄了自己的觀點，後退了。戴德金在經過長時間的猶豫以後，才允許發行自己劃時代的名著《數的意義》（Was sind und was sollen die Zahlen）的新版。弗雷格則不得不在後記中承認他的著作《算術的法則》（Grundgesetze der Arithmetik）是錯誤的。康托爾的學說遭到各方抨擊。這個反應是如此劇烈，甚至連數學中最普遍和最有成果的概念以及最簡單和最重要的演繹方法都受到了威脅，對它們的使用也幾乎被宣佈為是不正當的。舊的秩序當然也有保護者，但是他們的保護策略太過軟弱無力，而且在最緊要之處從來沒有形成過統一的意見。對於這些悖論提出了太多的補救方法，也太過零亂。

誠然，當前我們遇到悖論的事態是不可容忍的。試想一下，每個人在數學中所學、所教、所用的定義和演繹方法，原本是真理和確定性的典範，現在居然會導致荒唐！如果數學的思想有缺陷，我們又要到哪裡去尋求真理和確定性呢？

然而，還是有一種完全令人滿意、能避免這些悖論又不背叛我們科學的辦法的。下面這種態度和願望能幫助我們找到這個辦法並告訴我們走向何方：

1. 只要有挽救的希望，我們就要細心地研究富有成果的定義和演繹方法。我們要哺育它們、強化它們、使用它們，誰也不能把我們驅逐出康托爾為我們建立的天堂。⁸
2. 我們必須在整個數學中建立起如同初等數論的演繹中同樣的確定性，這是沒有人懷疑的，而矛盾和悖論只是由於我們粗心才出現的。
   很明顯，只有在我們完全闡明瞭無窮的本質後才能實現這些。

⁸ 這句常被引用的話，原來人們總認為這是希爾伯特在歌頌集合論。其實講的是，為了擺脫悖論仍要研究康托爾著作中有用的成分。實際上，希爾伯特正是在哺育、強化、使用這些成分的過程中，才得出了我們即將討論的超窮數理論，有了有窮主義的思想和實踐，而正是這些構成了康托爾為我們建立的天堂。這句話源出於此。——中譯者注

我們已經看到，在現實中不論求助於什麼樣的經驗、觀察和知識，都不能找到無窮。難道所想的事物會與事物本身有這麼大的區別嗎？難道思考的過程與事物的真實過程如此相異嗎？總之一句話，思想可以如此遠離現實嗎？難道還不清楚嗎，我們認為在某種意義下遇到了無窮，那只是我們被現實世界中常見到的某種極大或極小的尺度誘惑所進行的思考？

難道說，實地的（material）邏輯演繹在應用於真實的事物或事件時，是在以某種方式欺騙我們，或者讓我們陷入困境嗎？ ⁹ 不！實地的邏輯演繹是不可少的。只是在我們做出任意抽象的定義，特別是在涉及無窮多個物件時，實地的邏輯才會欺騙我們。在這類情況下，我們不合法地使用了實地的邏輯，也就是沒有充分注意有效使用實地的邏輯所必須的前提條件。在認識到有這樣一些必需考慮的前提條件後，我們發現我們和一些哲學家是一致的，特別是康德。康德的學說認為，數學處理的是獨立於邏輯的事物，這是康德學說一個不可或缺的部分。所以，數學絕不可能僅僅以邏輯為基礎。弗雷格和戴德金以邏輯為數學基礎的企圖註定會失敗。

⁹ 文中，我們都把德文字“inhaltlich”翻譯成了“material”或“materially”[中譯文則翻譯成了“實地”。——中譯者注]，這種譯法是為了說明這與傳統上講的物質或內容與邏輯形式有別。——英譯者注。

翻譯說明
1. 本文的腳註主要分為：原文的注，即《論無窮》一文在 Mathematische Annalen 上發表時就有的，我們注為原注；英譯者E. Putnam和Gerald J. Massey的注，我們注為英譯者注；主編Paul Benacerraf和Hilary Putnam的注，我們注為編者注；中譯者的注，我們注為中譯者注。
2. 在翻譯中，有些增加的句子成分會用方括號括起。

希爾伯特論無窮（二）

譯者簡介：齊民友
安徽蕪湖人，生於1930年，1952年畢業於武漢大學數學系，從1952年開始依次任武漢大學數學系助教、講師、副教授、教授、博士生導師。
社會兼職：武漢大學校長（1988~1992）；中國數學會副理事長；第八屆全國人大代表，教科文衛委員會委員（1993~1997）。