On The Infinite 論 無 窮（二） 作者：希爾伯特

本文譯者為齊民友老師，受齊老師託付，釋出在圖靈社群，歡迎大家批評和指正。
本文分兩部分發在圖靈社群，此為第二部分。

應用邏輯演繹和執行邏輯演算還有一個前提，就是必須事先就有某種概念性的東西，即在一切思考之前就有直覺體驗的某個邏輯以外（extralogical）的具體物件。為了使邏輯演繹是確定的，我們必須能夠看到這些物件的一切，必須給出它們的性質、差異、序列和鄰近關係，以及物件本身，這一切和物件本身已經不能也沒有必要再歸結為別的物件了。我認為這些都是必不可少的基本哲理，不僅對數學，而且對一切科學思考、理解和交流都是必不可少的。按照這樣的哲理，數學的主題就是一些具體的符號，其構造立即清晰可辨。

我們來考慮普通的有窮數論的本質和方法 ¹⁰，它肯定可以從數值結構通過直覺的實地的思考得出，但是數學肯定不只是數值方程，也肯定不可能僅僅簡化為數值方程。當然，我們仍然可以爭辯說數學是一種工具，如果把它用於正整數總是會得出正確的數值方程。但即便是在這樣的情況下，我們仍然需要徹底地研究這個工具的結構，以保證它們總能產生正確的方程。為了做這樣的研究，我們只能使用在數論的構造中匯出數值方程的同樣具體的、與推理內容有關的有窮方法。這樣做，科學上的要求是可以滿足的，也就是說可能以一種純粹直覺和有窮的方式，也就是我們獲得數論的真理的方式，給出一種足以保證這些數學工具的有效性的見解。

¹⁰在這裡，我們第一次遇見了有窮論（finitary theory，即finitism）的提法，那麼，什麼是有窮論呢？這裡似乎缺少“明確的”定義。這不是偶然的、無關緊要的小事。我們可以說，這個腳註之前的一大段話正是對於有窮論的解釋。關於這一點，希爾伯特和貝奈斯合寫的《數學基礎》第二卷（Grundlagen der Mathematik，Bd. 2, 1939，此書實際上是貝奈斯寫的）更是明確地指出：他們並沒有明確地給出finitistic和非finitistic的界限，書中說：“我們並沒有把finitistic一詞作為具有尖銳的界限的用語，而只是作為對於一種方法論的指導原則的描述，[這種描述並沒有]使得我們可以把某種概念的形成和推理的方式看成是確定地finitistic的，而把另一些看成是確定地非finitistic的。這個指導原則並沒有給出精確的界限使得符合其要求的就算是finitistic的、反之則算是非finitistic的。”（Hilbert and Bernays 1939, 347–48）——中譯者注

讓我們來更仔細地思考數論。在數論中，我們有如下的數值符號：

1，11，111，1111，

因為它們都是由符號1構成的，所以可以直覺地辨識出來。作為我們主題的這些數值符號本身並沒有什麼意義。但是，除了這些符號，即使在初等數論中，我們也還需要一些本身就有意義並有助於溝通的其他符號。例如，用符號 2 作為數值符號 11 的簡寫，用 3 作為數值符號 111 的簡寫。此外，我們也要用 +、=、> 這些符號來溝通各種命題。用 2+3=3+2 來表達：當考慮到 2 和 3 只是一種簡寫時，2+3 和 3+2 其實是相同的數值符號，即都是 11111. 類似地，3>2 則意在表達 ：符號 3 （即111）比符號 2 （即 11 ）更長，換句話說，後一個符號是前一個符號的真部分。

我們也使用字母 a,b,c 來進行溝通。這樣，b>a 表達的是：數值符號 b 比數值符號 a 更長。從這個觀點看來，a+b=b+a 只是表達了數值符號 a+b 和數值符號 b+a 是相同的。這個表達的內容可以用實地的演繹來證明。說實在的，這種直覺的實地演繹還可以走得更遠。

我要給出一個把這個直覺的實地演繹剝離的例子。我們現在已知的最大素數是（39位）

p=170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727。 

利用歐幾里得提出的著名方法，我們可以完全在有窮框架下給出一個證明：在 p+1 和 p!+1 之間至少存在一個新的素數。 ¹¹這個證明在有窮框架下完全有效，“必定存在”一詞僅僅為了簡化表達這樣的意思；p+1 或 p+2 或 p+3,⋯,或 p！"+1" 必定是素數。此外，下面的說法顯然說的是同一回事：必定存在一個素數，它：

1. >p，同時又有
2. ≤p!+1.

¹¹按照一個應該歸功於歐幾里得的方法，我們可以證明這個定理，所以我們在下面稱這個結果為歐幾里得定理。

這樣會匯出一個定理，但它只表示了歐幾里得定理的一部分，即必定存在一個大於 p 的素數。就其內容而言，這個定理比歐幾里得定理要弱得多——僅斷言了歐幾里得定理的一部分，雖然從歐幾里得定理轉換到這個定理沒有害處，但當部分命題脫離了上下文而被視為一個獨立的命題後，就可能落入超窮性的領域。

怎麼會這樣呢？因為我們有一個存在性命題，必定存在！事實上，歐幾里得定理還有一個類似的表述，我已經說過，這個必定存在只是命題“或者是 p"+1" ，或者是 p+2，或者是p"+3"，⋯，或者是 p！"+1 " 為一素數”的縮寫，這就好像我們把 “或者這支粉筆，或者這支，或者這支，……，或者這支是紅的”這句話換一個簡明的說法：“這其中必定存在一支紅色的粉筆。”像“存在具有有窮整體某一性質的物件”之類的命題，完全符合有窮的方法。但是，像“或者是 p+1，或者是 p"+2"，或者是p+3 …… （直到無窮）具有某種性質”這樣的命題本身就是一個無窮的邏輯乘積。對於這樣的命題，除非給出進一步的解釋和解決辦法，否則在微積分中是不允許從有窮乘積推廣到無窮乘積的。這樣的推廣通常是毫無意義的。

從有窮主義的觀點來，每一個形如“必定存在具有某種性質的數”命題，一般只是作為某個命題的一部分才有意義，即只作為一個更確定的命題的一部分。然而，出於更多的目的，更廣泛的命題並不需要準確的陳述。

在分析一個其內容不能被表述為有窮的析取式 ¹²時，就會遇到無窮。類似地，否定一個一般命題（就是涉及無窮多個數值符號的命題），也會得到一個超窮的命題。例如，命題“如果 a 是一個數值符號，則 a+1=1+a 普遍為真”，從有窮的視角看來是不可否定的。用下面的看法來看就更清楚了：這個命題不能解釋為任意多個數值方程用“和”（即邏輯連詞“與”，其符號為“∧”）連線而成，而只能解釋為斷言在給定數值符號下某事成立的假言判斷。

¹²析取就是disjunction，也就是邏輯連線詞“或”，其記號通常是“∨”。——中譯者注

所以，從有窮的觀點看來，對於我們剛才得到的那種含有任意數值符號的方程，我們既不能證明它對於每一個數值符號都成立，也不能用一個反例來給以反證。反證法的使用要依據排中律，其前提是假設這樣一個普遍適用的命題是能夠否定的。

不管怎麼說，我們注意到：如果我們停留在有窮命題的領域內，事實上，我們就必然會遇到非常複雜的邏輯規律。如果“必定存在”和“所有”的說法組合在一起，或者它們巢狀在其他表示式的表示式內，那麼這種邏輯規律的複雜性將是我們無法控制的。總之，亞里士多德所教導的邏輯規律以及人們從開始思考時就一直在使用的那些邏輯規律不再成立了。當然，我們可以去發展對於有窮的命題一定成立的邏輯規律。但是，發展這樣的邏輯對我們並沒有好處，因為我們不想放棄使用亞里士多德的簡單的邏輯規律。再說，哪怕有人用“天使的話語”（tongues of angel） ¹³講話，也無法阻止人們否定一般的命題，形成部分判斷，或者使用tertium non datur ¹⁴ 。那麼，我們該怎麼辦呢？

¹³語出新約聖經哥林多前書第13章（這裡的譯文來自中文聖經的和合本），意為只能在天國中適用，常人不可能遵守的語言或法令。——中譯者注

¹⁴拉丁文，直譯就是“沒有第三者”。例如一個命題或為真，或為不真，再沒有第三種情況，即為tertium non datur。所以，這個短語就是排中律。——中譯者注

請不要忘記，我們是數學家。作為數學家，我們經常處於不穩定的境地，解救我們的則是非常巧妙的理想元素方法。在本文開始處，我就舉出過一些應用這個方法的卓越的例子。例如，引入 i=√(-1) 是以簡單形式儲存代數的規律（例如方程的根的存在與個數的規律）；又如，引入理想因子（ideal divisor）是以簡單形式儲存代數整數的可分性律（例如數 1+ √(-5) 和2就有一個公共的理想因子，雖然並不存在真正的因子）。類似地，要想儲存形式簡單的普通亞里士多德邏輯，就必須用理想的命題去補充有窮的命題。具有諷刺意味的是，克羅內克（Leopold Kronecker，1823—1891）如此激烈反對的非有窮的演繹方法，與他所熱烈推崇的庫默爾（Ernst Eduard Kummer，1810—1893）在數論方面的工作（克羅內克稱讚這是數學的最高成就）極其相似。 ¹⁵

¹⁵這裡指的當然包含了克隆尼克的名言：上帝創造了整數，其餘都是人造的。所以，如√(-1)=i當然也是人造的，所以是不存在的。同樣，克隆尼克也只承認有窮的演繹，而非有窮的演繹也是不存在、無意義的。——中譯者注

怎樣獲得這種理想命題呢？有一個非常值得注意，並且很利於我們又很有希望的事實，那就是為了得到這些理想命題，我們只需要以一種自然而且明顯的方式來延續數學基礎理論時曾經歷的發展。事實上，我們應該看到，即使是初等數學也已超越了直覺的數論的立場。正如我們曾解釋的，直覺的數論（實地的數論）並不包含用字母進行運算的方法。在直覺的數論中，我們使用公式只是為了進行溝通。字母表示數值符號，方程則用來傳達等式雙方的數值符號是相同的。在代數中則不同，我們把含有字母的表示式當作獨立的結構，用以把數論中的實地的定理形式化。公式不再只是關於數值符號的命題，而是作為直覺研究的具體物件。我們所有的不再只是數論定理的實地證明，而是根據確定規則從一個公式到另一個公式的推導過程。

所以，甚至是在代數學中，就已經發生了有窮物件的擴充套件。迄今為止，我們的物件僅僅是 1,11,⋯,11111 這樣的數值符號，只有它們才是實地處理的物件。但是，數學的實踐即使在代數中也還可以有更多的發展。事實上，當我們從有窮的觀點看來時，公式就它所表示的意義是有效的，例如

a+b=b+a

這個定理中，a 和 b 都是特定的數值符號。但是，我們寧可不採用這樣的傳達方法，而是使用公式

a+b=b+a

後一個公式絕不是所指事物的直接傳達，而是被看成某種形式結構，它與許多舊的有窮命題如

2+3=3+2， 5+7=7+5

的關係在於：當我們在此公式中用數值符號 2,3,5,7 來取代 a 和 b 時，即可通過一個證明過程得到個別的有窮命題，儘管這只是一個很簡單的證明過程。由此可以斷言， a,b,=,+ 等符號以及整個公式 a+b=b+a ，就如那些數值符號 a 和 b 一樣，其本身沒有任何意義。但是，將這些公式解釋為有窮命題的傳達方式，我們仍然可以從該公式匯出確實賦予意義的其他公式。對這個結論加以推廣，我們就把數學設想成兩類公式：一類公式對應於有窮命題的有意義的傳達；另一類公式不表示任何意義，是我們理論中的理想結構。

那麼，我們的目標是什麼呢？在數學中，一方面我們有隻包含數值符號的有窮命題，例如

3>2, 2+3=3+2, 2=3, 1≠1

等，從有窮觀點看，它們都是立刻用直覺能理解的東西，不用藉助其他東西。這些命題都是可以否定的，可以為真，也可以為假。對於它們，可以不加限制地應用亞里士多德邏輯，無須特別小心。無矛盾原理 ¹⁶（the principle of non-contradiction）對於它們是成立的，也就是說tertium non datur （就是任意命題或者其自身成立，或者其否定成立；說一個命題為假就等價於說它的否定為真）對於它們總是成立的。另一方面，除了有這些不產生問題的初等命題外，我們還會找到更多有問題的有窮命題。例如，我們能找到不能分割成部分命題的有窮命題。最後，我們引入了理想命題，使得通常的邏輯規律也能普遍適用。但是，因為這些理想的命題（也就是這些公式）在有窮命題範疇下並不具有任何意義，所以邏輯運算就不能像對有窮命題那樣實地的應用於它們。因此，有必要把這些邏輯運算及其證明加以形式化。這樣的形式化就需要將邏輯運算轉化為公式。因此，除了數學符號，我們還必須引入

&    ∨   →   ∼ ¹⁷
與 或 蘊涵 非

等邏輯符號¹⁸，而且除了如 a,b,c,⋯數學變數，我們還必須使用表示命題的變數A,B,C,⋯，等等。

¹⁸這類符號叫作邏輯連線符（logical connective）。——中譯者注

怎樣做到這一點呢？幸運的是，我們在科學發展的歷史中經常看到同樣的、和諧的預先設定。正是這種和諧的預設，為愛因斯坦在提出引力的一般理論時提供了已經充分發展的不變微積分學，同樣，它也會幫助我們發現事先完成的邏輯演算。可以肯定地說，邏輯演算原來是從完全不同的觀點出發而發展起來的。邏輯演算中的符號原來只是為傳達而引入的。否定邏輯符號具有任何的意義，就如我們曾經否定數學符號的意義，而宣稱邏輯演算的公式都是本身沒有任何意義的理想命題，這仍然符合我們的有窮觀點。我們現在是把邏輯演算看成一種語言，它可以把數學命題化成公式，而用形式程式來表示邏輯演繹。正如同從實地的數論轉變為形式代數一樣，我們現在是從抽象意義上對待邏輯演算的符號與運算子號。這樣，我們最後得到的就不再是用普通語言來傳達的實地的數學知識，而只是一組含有按確定程式一步一步生成的數學和邏輯符號的公式。這些公式中的一些對應於數學公理。這些公式按由一個到另一個的推導規律對應於實地的演繹。這樣，實地的演繹就被代以服從某些規律的形式程式。所以，對公理和邏輯演算都實現了嚴格的由樸素到形式處理的轉變。（公理原來是被樸素地看成基本真理的，在現代公理學中，則久已被看成是概念之間的關係。邏輯演算則原來被看成一種不同的語言。）

¹⁹ 這種格式稱為“假言推理”（modus ponens）。下文由中譯者作了一些修改。——中譯者注

這個程式還指導我們在創立證明論（即關於這種證明的數學和邏輯學理論）時要選擇哪些命題作為公理。儘管有一定程度的任意性，但就如在幾何學中，還是可以定性分出某一組公理的。下面就是這種分組的例子。

Ⅰ 蘊涵公理
i. I Α→(Β→Α) （新增一個假設）
ii. (B→C)→{(A→B)→(A→C)} （消除一個命題）

Ⅱ 否定公理
i. {A→(B &∼B)}→∼A （矛盾律）
ii. ∼∼A→A （雙重否定律）
Ⅰ和Ⅱ兩組公理只不過就是命題演算的公理。

Ⅲ 超窮公理
i. aA(a)→A(b) （由普遍成立可以推斷到特例，也叫亞里士多德公理）
ii. ∼(a)A(a)→(∃a)∼A(a) （如果一個謂詞不普遍成立，則一定有反例）
iii. ∼(∃a)A(a)→(a)∼A(a) （如果一個命題沒有特例，則它對一切 a 為假）

數學和邏輯學發展到這裡，我們發現了一個非常值得注意的事實，就是所有這些超窮公理都可以從一個公理匯出，這個公理的要點就是所謂的選擇公理（axiom of choice），它是數學文獻中最具爭議的公理：

(i' ) A(a)→A(εA).

這裡的 ε 就是所謂的超窮邏輯選擇函式。
再往下還要加上一些特殊的數學公理，它們是：

Ⅳ 恆等公理
i. a=a
ii. a=b→{A(b)}

最後還有：

Ⅴ自然數的公理 ²⁰

i. a+1≠0
ii. 完全歸納法公理

²⁰ 就是皮亞諾公理。——中譯者注

現在，我們已經準備好了完成我們的證明論，構造出可證明公式的系統，也就是建立起整個數學。但是，當我們因這一成就而歡樂，特別是因毫不費力就找到了已經發展完善的、必不可少的工具（即邏輯運算）而愉悅時，絕不要忘記我們的工作有一個基本條件——一個與理想元素方法相關的、絕對必要的條件。這個條件就是一致性（consistency）的證明：想使通過理想元素方法來擴充套件領域是合法的，就必須要求這個擴充套件不會在以前的、較窄的領域中出現矛盾；或者換句話說，就是在把理想元素除去以後，所餘下的關係在舊結構中始終是適用的（valid）。

一致性問題在目前的狀況下很容易處理。它顯然可以歸結為：用我們的公理以及設定的規則不會得到 1≠1 作為證明的最後一個式子；也就是說，1≠1 是一個不可證明的公式。這項任務同樣屬於直覺處理的領域，例如在實地構造的數論中證明 √2 的無理性，就是證明不可能找到兩個數值符號 a 和 b，使之適合關係式a²=2b²，也就是無法找到兩個具有某種性質的數值符號。類似地，我們會義不容辭地去證明不可能找到某一類的證明。和數值符號一樣，一個形式化的證明是一個具體可見的物件，我們可以完整地描述它們。此外，上述公式所必須的性質，即它可以讀作1≠1，也是這個證明的可以具體確定的性質。因為我們事實上可以證明，不可能找到一個以此公式為最後一個公式的證明，所以我們也就論證了引入理想命題的合理性。

使我們驚喜的是，我們也同時解決了長久以來困擾著數學家的問題，就是證明算術公理一致性的問題。因為只要我們應用公理方法，證明的一致性問題就會出現。可以肯定地說，在選擇、理解和應用規則和公理時，我們不願意單純地依賴盲目的信念。在幾何學和物理學理論中，一致性的證明是通過把它約化為算術公理的一致性來實現的。但是，我們顯然不能用這個方法來證明算術公理自身的一致性。正是我們基於引入理想元素的方法來建立的證明理論，幫助我們實現這關鍵一步，成為簡稱公理學的學說拱門的必要基石。我們曾經歷了兩次困擾：第一次是在處理無窮小演算時遇到的悖論，第二次是在處理集合論時遇到的悖論，現在不會出現第三次了，再不會出現了。

我們要在這裡概述其要點的證明理論，不僅能為數學的基礎提供堅實可靠的基礎，而且我相信，也為處理基本的數學問題提供了一般的方法，而這個方法是數學家們迄今還未能掌握的。

在一定的意義上，數學已經成了一個仲裁法庭，一個決定基本問題的最高法庭——基於每個人都認同的牢固基礎，每個命題都受其掌控。

在我看來，新的所謂“直覺主義”（intuitionism）的主張——雖然可能是比較溫和的，必須要在這個法庭上得到“執照”。

可以處理這類基本問題的一個例子是：每一個數學問題都是可以解決的。我們都相信確實如此。事實上，吸引我們去破解數學問題的一個主要動力，是我們總能聽到來自內心的一個呼喊：問題就在這裡，去找出它的答案吧；只要你去想，就一定能找到，因為數學中沒有 ignorabimus（不可知的東西）²¹。 現在，我的證明理論並沒有給出解決每一個數學問題的一般方法——根本沒有這種方法。然而，證明每一個數學問題都是可解的是個一致的假設，完全屬於我的理論範圍之中。²²

²¹ 這是一個拉丁字，更常見的是一句拉丁格言：Ignoramus et ignorabimus。Ignoramus本意是“無知者”或“我們不知道”，在法律上也會用到這個字，不過這裡是一個17世紀喜劇的標題。後來，德國生理學家Emil Heinrich du Bois-Reymond（1818—1896）把它用於表述科學哲學的不可知論，指在科學上有許多“我們不知道，也永遠不可能知道”的事情。希爾伯特反對這種看法，並且針鋒相對地提出自己非常著名的口號Wir müssen wissen. Wir werden wissen.（英文的標準譯法是We must know. We will know.）。這個提法見於希爾伯特1930年在哥尼斯堡的退休演說中，後來成了他的墓誌銘。——中譯者注 ²² 這個問題稱為邏輯學的判定問題（decision problem），或完全性問題，是邏輯學的一個基本問題。——中譯者注

現在，我要亮出我的最後一張王牌了。一個新理論的試金石就是它解決一些問題的能力，而這些問題雖然人們久已知道，但這個理論本來並非專門用來解決它們的。“憑著他們的果子，就可以認出他們來。”²³ 這句格言對於一個理論也是適用的。我在前面已經指出，當康托爾發現他的第一批超窮數，即所謂的第二類數時，這個問題就已經出現，即這種超窮的計數方法能否用於在其他地方已知、在通常意義下是不可數的集合。區間內的點就明顯地表示為這類集合。這個問題——區間內的點（也就是實數）能否用前文給出的表中的那些數來計數——就是著名的連續統假設。康托爾提出了這個問題，但是沒有能夠解決它。雖然有些數學家以為，通過否定這個問題的存在就可以處理掉這個問題。但是下面的說明就可以指出他們是大錯特錯了。連續統問題與其他問題的區別在於它的獨特性和內在的美。此外，它相比其他問題還有一個優點，就是它把兩種品質結合起來了：一方面它需要新的解決方法，因為老方法都失敗了；另一方面，因為要獲得結果，它的解決方法非常重要。

²³ 這句格言出自新約聖經《馬太福音》第7章，這裡的譯文就是引自中文聖經和合本的。——中譯者注

我所發展的理論給出了連續統問題的一種解決辦法。每一個數學問題都是可解的，其證明正是這種解決辦法的第一步，也是最重要的一步…… ²⁴

²⁴ 希爾伯特的原文在此概述了他打算採用的解決連續統問題的方法。這個打算雖然不是沒有意義的，但是從來沒有實行過。所以現在略去這一部分。——編者注。[關於略去的部分，讀者可以參看Jean van Heijenourt, ed. From Frege to Gὂdel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard Univ. Press Cambridge, 1967. Pp 367-92。——中譯者注]

總結一下，讓我們回到主題，並從我們關於無窮的全部思考中得出一些結論。我們主要的結果是：在現實世界中並不存在無窮。它既不存在於自然界中，也不能為理性思維提供合法的基礎——它存在與思維間的一種奇妙的和諧。對照弗雷格和戴德金早前的努力，我們相信，某些直覺概念和洞察力對於科學知識是必須的，僅有邏輯是不夠的。只有通過有窮才能使對於無窮的運作是確定的。

那麼，為什麼要保留“無窮”呢？它僅僅是一個想法，用康德的話來說，它是一種理性概念，超越了一切經驗而使具體性成為一個整體——在我們建立的理論的框架下，我們可以毫不猶豫地相信這個看法。

最後，我要感謝貝奈斯 ²⁵ （Paul Isaac Bernays，1888—1977，瑞士數學家）在本文寫作時在技術和編輯兩方面給予的睿智合作和有價值幫助，特別是在連續統定理的證明上。

²⁵ 在數理邏輯上有重要貢獻。——中譯者注

On The Infinite 論 無 窮（一）

齊民友 安徽蕪湖人，生於1930年，1952年畢業於武漢大學數學系，從1952年開始依次任武漢大學數學系助教、講師、副教授、教授、博士生導師。 社會兼職：武漢大學校長（1988~1992）；中國數學會副理事長；第八屆全國人大代表，教科文衛委員會委員（1993~1997）。