最短路系列：floyd 演算法
大家好，我是Weekoder!
最近學了最短路，我來出一個最短路系列辣！
今天的演算法是：floyd 演算法！
我會用我自己的理解儘量讓大家搞懂 floyd 演算法。
floyd 演算法的用處
floyd 演算法是最短路演算法之一，適合求解多源最短路徑問題。什麼是多源最短路徑呢？其實就是起點和終點都有多個的最短路徑演算法，在計算完之後可以以 \(O(1)\) 的速度獲得任意兩點之間的最短路徑。
另外，floyd 演算法的本質其實是動態規劃。
floyd 演算法的思想
在圖中，我們往往需要求出某個點到另一個點的最短路徑，這時候我們就可以使用 floyd 演算法。
我們來想一想該怎麼用最直接的方式求出兩點之間的最短路徑。假設城市 A 和城市 B 之間的距離是 \(10\)，那我們首先可以想到直接從 A 走到 B，距離為 \(10\)。這時候，如果有一個城市 C，A 到 C 的距離是 \(3\)，C 到 B 的距離是 \(5\)，我們就可以先來到城市 C，再前往城市 B。這樣的總距離是 \(3+5=8\)，比之前的 \(10\) 要更優。
那到底為什麼會更優呢？是因為有了城市 C 這樣一個中轉站，使得總距離縮短了。我們仔細思考一下，在圖上兩點之間的直接距離往往不是最優的，而是要經過一些中轉站，使得總路程進一步縮短。floyd 演算法實際上就是列舉了這些中轉站，並用狀態轉移方程求解。
floyd 演算法的實現
我們知道了要使兩點之間的距離縮短，就必須引入中轉站。現在，我們來看一下 floyd 演算法是怎麼實現的。
先看部分程式碼如下：
for (int k = 1; k <= n; k++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
// 狀態轉移方程
可以看到，這裡有三層迴圈。
-
第一層迴圈的 \(k\) 是在列舉每個中轉站。
-
第二層迴圈的 \(i\) 是在列舉起點。
-
第三層迴圈的 \(j\) 是在列舉終點。
最後在迴圈裡執行狀態轉移方程。
有一個重點：中轉站必須在最外層列舉！我們要列舉中轉站逐個更新，如果在外層列舉起點和終點，會導致更新不完全。
那麼，狀態轉移方程又是什麼呢？
我們只需要在直接到達的路徑和間接到達的路徑中取 min 就行了：
這裡的 \(e_{i,j}\) 表示 \(i\) 點到 \(j\) 點目前的最短路徑。
狀態轉移方程用人話講就是在 \(i\) 直接到 \(j\) 和 \(i\) 先到 \(k\) 再從 \(k\) 到 \(j\) 中取 min。
接下來講一下二維陣列 \(e\) 的初始化。
首先，我們知道一個點到自己的距離是 \(0\)，所以有：
而其他的數我們可以先設為 INF（無窮大），所以又有：
而當我們輸入一條邊時，一般會有三個引數 \(u,v,w\)，代表從 \(u\) 到 \(v\) 有一條權值為 \(w\) 的邊，無向邊構建如下：
有向邊構建如下：
例題實踐
- 難度一顆星：B3647 【模板】Floyd
Code:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105, INF = 1 << 30;
int n, m, e[N][N];
void floyd() {
for (int k = 1; k <= n; k++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (e[i][k] != INF && e[k][j] != INF)
e[i][j] = min(e[i][j], e[i][k] + e[k][j]);
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
e[i][j] = i == j ? 0 : INF;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
e[u][v] = e[v][u] = w;
}
floyd();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++)
cout << e[i][j] << " ";
cout << "\n";
}
return 0;
}
注意要加上判斷：\([e_{i,k}\ne \infty \space \text{and} \space e_{k,j}\ne \infty]\)，否則會溢位，變成負數。
我們所說的無窮大可以用 \(2^{30}\) 來代替。
可以把 floyd 核心部分封裝成函式。
- 難度三顆星：P1364 醫院設定
可以自己看題解理解哦~
Code：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105, INF = 1 << 30;
int n, e[N][N], ans = INF, w[N];
void FloydInit() {
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
e[i][j] = i == j ? 0 : INF;
}
void floyd() {
for (int k = 1; k <= n; k++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (e[i][k] != INF && e[k][j] != INF)
e[i][j] = min(e[i][j], e[i][k] + e[k][j]);
}
int main() {
cin >> n;
FloydInit();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int u, v;
cin >> w[i] >> u >> v;
if (u)
e[i][u] = e[u][i] = 1;
if (v)
e[i][v] = e[v][i] = 1;
}
floyd();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int sum = 0;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (e[i][j] != INF)
sum += e[i][j] * w[j];
ans = min(ans, sum);
}
cout << ans;
return 0;
}
- 挑戰——難度四顆星：P1828 [USACO3.2] 香甜的黃油 Sweet Butter
與上一題相似，類似加強版。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005, INF = 1 << 30;
int n, p, m, e[N][N], cow[N], ans;
void FloydInit() {
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
e[i][j] = i == j ? 0 : INF;
}
void floyd() {
for (int k = 1; k <= n; k++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (e[i][k] != INF && e[k][j] != INF)
e[i][j] = min(e[i][j], e[i][k] + e[k][j]);
}
int main() {
cin >> p >> n >> m;
FloydInit();
for (int i = 1; i <= p; i++)
cin >> cow[i];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int a, b, d;
cin >> a >> b >> d;
e[a][b] = e[b][a] = min(e[a][b], d);
}
floyd();
int ans = INF;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int sum = 0;
for (int j = 1; j <= p; j++) {
if (e[i][cow[j]] == INF) {
sum = INF;
break;
}
sum += e[i][cow[j]];
}
ans = min(ans, sum);
}
cout << ans;
return 0;
}
最後
floyd 演算法適合需要多次訪問任意兩點之間最短路徑的問題。你，學會了嗎？