最短路徑（dijkstra 與 Floyd）

魚與魚發表於2020-09-05

目錄

1. 如何建圖？

要跑最短路，首先要有圖 ——魯迅

常用的儲存方法有兩種，分別是鄰接矩陣（用二維陣列表示邊）和鄰接表（模擬連結串列表示邊）兩種，他們各有不同的優勢和不足：

鄰接矩陣 鄰接表
使用範圍 稠密圖 主要是稀疏圖
空間耗費 n^2（n節點數） 理論上是 e（ e為邊條數）
實現方式 二維陣列 儲存每個節點相連的節點和邊權值

通常來講，在資料範圍足夠小時，我們採用鄰接矩陣，而資料範圍大時採用鄰接表

鄰接矩陣實現：

無權圖：

g[x][y]=1 #g[x][y]=1表示x到y有一條邊連線
#g[y][x]=1 #去掉註釋後是無向圖

帶權圖：

g[x][y]=w #g[x][y]=w表示x到y有一條權值為w的邊
#g[y][x]=w #去掉註釋後是無向圖

2. Floyd

多源最短路演算法，用鄰接矩陣儲存，可以處理負邊權，但不能處理負環

多源最短路就是說只要跑一次，任意兩點的最短路都能求啦(￣︶￣)，而其他單源最短路跑一次只能得出一個點到其他點的最短路

用鄰接矩陣存最短路（ dis[i][j]表示 i到j的最短距離）開一個三重迴圈（！）

外層列舉中間點，中間列舉起點，內層列舉終點，當三個點互不相同時進行鬆弛操作，如果經過中間點之後的路程和比原路程短，就更新距離，一輪過後，我們得到了一個新的矩陣，然後我們把中間點換成下一個點，再次鬆弛，的到一個新的矩陣，執行 n 次之後，第 n個矩陣就是我們的答案啦

#提前將鄰接矩陣存在dis陣列裡，其他不連通的地方初始化成無窮大
for k in range(n): #列舉中間點
    for i in range(n): #列舉起點
        if(i!=k): #節省時間，如果一樣就不往下走
            for j in range(n): #列舉終點
                if(i!=j and j!=k): #繼續判斷，如果有一樣的就不往下走
                    dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j])

3. Dijkstra

單源最短路徑

將所有節點分成兩類：已確定從起點到當前點的最短路長度的節點，以及未確定從起點到當前點的最短路長度的節點（下面簡稱「未確定節點」和「已確定節點」）。

每次從「未確定節點」中取一個與起點距離最短的點，將它歸類為「已確定節點」，並用它「更新」從起點到其他所有「未確定節點」的距離。直到所有點都被歸類為「已確定節點」。

用節點 A「更新」節點 B 的意思是，用起點到節點 A 的最短路長度加上從節點 A 到節點 B 的邊的長度，去比較起點到節點 B 的最短路長度，如果前者小於後者，就用前者更新後者。這種操作也被叫做「鬆弛」。

這裡暗含的資訊是：每次選擇「未確定節點」時，起點到它的最短路徑的長度可以被確定。

​ ——力扣（LeetCode）

def dijkstra(u):
    #初始化起點 u 到每一個點的距離
    for k in range(n):
        dis[k] = g[u][k]

    print("起點到其他節點的初始距離：",dis)

    used[u] = 1
    for k in range(n):
        minv = float('inf')
        #在未確定節點中找與起點距離最短的
        for i in range(n):
            if not used[i] and dis[i] < minv: 
                minv = dis[i]
                temp = i

        #中轉位置, 變為已確定節點，更新距離
        used[temp] = 1 
        for i in range(n):
            if g[temp][i]+dis[temp] < dis[i]:
                dis[i] = g[temp][i]+dis[temp]

        print("第 {} 次迭代，起點到其他節點的距離：{}".format(k,dis))

測試下

with open("path.txt",'r') as f:
    n = int(f.readline())
    weights = f.readlines()

print("頂點數：",n)

dis = [0]*n
used = [0]*n

# 定義鄰接矩陣儲存圖
g = [[0]*n for _ in range(n)]
for u in range(n):
    for v in range(n):
        g[u][v] = int(weights[u].strip().split()[v])

print("鄰接矩陣：",g)
# g[u][v] = g[v][u] = w  # 建立圖，節點間沒有連線賦值為 無窮大

dijkstra(0)

執行結果：

起點到其他節點的初始距離： [65535, 33, 21, 26, 65535, 65535, 65535, 65535]
第 0 次迭代，起點到其他節點的距離：[42, 33, 21, 26, 65535, 42, 65535, 65535]
第 1 次迭代，起點到其他節點的距離：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 96, 117]
第 2 次迭代，起點到其他節點的距離：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 96, 117]
第 3 次迭代，起點到其他節點的距離：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 71, 117]
第 4 次迭代，起點到其他節點的距離：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 71, 117]
第 5 次迭代，起點到其他節點的距離：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 71, 117]
第 6 次迭代，起點到其他節點的距離：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 71, 117]
第 7 次迭代，起點到其他節點的距離：[42, 33, 21, 26, 62, 42, 71, 117]

附上資料

8
65535 33 21 26 65535 65535 65535 65535 65535 
33 0 65535 27 30 65535 65535 65535 65535 
21 65535 0 22 65535 21 65535 65535 65535 
26 27 22 019 36 33 70 91 
65535 30 65535 190 65535 41 64 80 
65535 65535 21 36 65535 0 29 65535 65535 
65535 65535 65535 33 41 290 22 65535 
65535 65535 65535 70 64 65535 22 0 42

references:

https://www.cnblogs.com/Staceyacm/p/10782094.html

https://www.luogu.com.cn/blog/FrozaFerrari/xue-tu-lun-ni-zhen-di-liao-xie-zui-duan-lu-ma-post

https://www.bilibili.com/video/BV1q4411M7r9/?spm_id_from=333.788.videocard.1

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