Dijkstra(迪傑斯特拉)演算法的思想是廣度優先搜尋（BFS） 貪心策略。
是從一個頂點到其餘各頂點的最短路徑演算法，節點邊是不各自不同的權重，但都必須是正數
如果是負數，則需要 Bellman-Ford 演算法
如果想求任意兩點之間的距離，就需要用 Floyd 演算法
求節點0 -> 4 的最短路徑
- 每次從未標記的節點中選擇距離出發點最近的節點，標記，收錄到最優路徑集合中
- 計算剛加入節點A的鄰近節點B的距離（不包括標記的節點），若（節點A的距離 + 節點A到節點B的邊長）< 節點B的距離，就更新節點B的距離和前序節點
初始狀態
| 節點 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 備註 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最優節點 | 每一步，找出未標記的節點中，最短的距離，標記為最優節點 | |||||||||
| 出發節點 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 當前節點，到每個節點的距離，剛開始，所有的節點都認為是 ∞ 無窮大 |
| 前序點 | 為了記錄最短路徑，需要記錄每個節點的前序節點 |
從0出發
| 節點 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最優節點 | ✔️ | ||||||||
| 0 出發 | 0 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
| 前序點 |
首先，節點0的距離是0，所有節點中距離最短的是它自己，0為最優路徑中的節點
更新0鄰近節點1、7
從0點出發，到 相鄰的節點 1、7
0->1 = 4 , 節點 1 此時為 ∞，因此 節點 1 的 距離 標為 4，前序節點為 0
0->7 = 8 , 節點 7 此時為 ∞，因此 節點 7 的 距離 標為 8，前序節點為 0
從未標記最優節點（1~8）中，找距離出發點最小的節點 => 1
| 節點 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最優節點 | ✅ | ✔️ | |||||||
| 0 出發 | 0 | 4 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 8 | ∞ |
| 前序點 | 0 | 0 |
更新1鄰近節點2、7
上一次的最優節點是 1
從0點出發，到 節點 1 相鄰的節點 2、7
0->1->2 = 4 + 8 = 12 , 節點 2 此時為 ∞，因此 節點 2 的 距離 標為 12，前序節點為 1
0->1->7 = 4 + 11 = 15 , 節點 7 已有值 8，8<15，因此 節點7 的 距離、前序節點保持不變
從未標記最優節點（2~8）中，找距離出發點最小的節點 => 7
| 節點 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最優節點 | ✅ | ✅ | ✔️ | ||||||
| 0 出發 | 0 | 4 | 12 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 8 | ∞ |
| 前序點 | 0 | 1 | 0 |
更新7鄰近節點 8、6
上一次的最優節點是 7
從0點出發，到 節點 7 相鄰的節點 8、6
0->7->8 = 8 + 7 = 15 , 節點 8 此時為 ∞，因此 節點 8 的 距離 標為 15，前序節點為 7
0->7->6 = 8 + 1 = 9 , 節點 6 此時為 ∞，因此 節點 6 的 距離 標為 9，前序節點為 7
從未標記最優節點（2~6、8）中，找距離出發點最小的節點 => 6
| 節點 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最優節點 | ✅ | ✅ | ✔️ | ✅ | |||||
| 0 出發 | 0 | 4 | 12 | ∞ | ∞ | ∞ | 9 | 8 | 15 |
| 前序點 | 0 | 1 | 7 | 0 | 7 |
更新6鄰近節點 8、5
上一次的最優節點是 6
從0點出發，到 節點 6 相鄰的節點 8、5
0->7->6->8 = 8 + 1 + 6 = 15 , 節點 8 已有值 15，15=15，因此 節點 8 的 距離、前序節點保持不變
0->7->6->5 = 8 + 1 + 2 = 11 , 節點 5 此時為 ∞，因此 節點 5 的 距離 標為 11，前序節點為 6
從未標記最優節點（2~5、8）中，找距離出發點最小的節點 => 5
| 節點 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最優節點 | ✅ | ✅ | ✔️ | ✅ | ✅ | ||||
| 0 出發 | 0 | 4 | 12 | ∞ | ∞ | 11 | 9 | 8 | 15 |
| 前序點 | 0 | 1 | 6 | 7 | 0 | 7 |
更新5鄰近節點 2、3、4
上一次的最優節點是 5
從0點出發，到 節點 5 相鄰的節點 2、3、4
0->7->6->5->2 = 8 + 1 + 2 + 4 = 15 , 節點 2 已有值 12，12<15，因此 節點2 的 距離、前序節點保持不變
0->7->6->5->3 = 8 + 1 + 2 + 14 = 25 , 節點 3 此時為 ∞，因此 節點 3 的 距離 標為 25，前序節點為 5
0->7->6->5->4 = 8 + 1 + 2 + 10 = 21 , 節點 4 此時為 ∞，因此 節點 4 的 距離 標為 21，前序節點為 5
從未標記最優節點（2、3、4、8）中，找距離出發點最小的節點 => 2
| 節點 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最優節點 | ✅ | ✅ | ✔️ | ✅ | ✅ | ✅ | |||
| 0 出發 | 0 | 4 | 12 | 25 | 21 | 11 | 9 | 8 | 15 |
| 前序點 | 0 | 1 | 5 | 5 | 6 | 7 | 0 | 7 |
更新2鄰近節點 3、8
上一次的最優節點是 2
從0點出發，到 節點 2 相鄰的節點 3、5、8，節點5已標記，所以不處理節點5
0->1->2->3 = 4 + 8 + 7 = 19 , 節點 3 已有值 25，25>19，因此 節點 3 的 距離 標為 19，前序節點為 2
0->1->2->8 = 4 + 8 + 2 = 14 , 節點 8 已有值 15，15>14，因此 節點 8 的 距離 標為 14，前序節點為 2
從未標記最優節點（3、4、8）中，找距離出發點最小的節點 => 8
| 節點 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最優節點 | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | ✔️ | ||
| 0 出發 | 0 | 4 | 12 | 19 | 21 | 11 | 9 | 8 | 14 |
| 前序點 | 0 | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 0 | 2 |
更新8鄰近節點
上一次的最優節點是 8
8的鄰近節點，2、7、6 都已被標記為最優節點，所以不需要處理
從未標記最優節點（3、4）中，找距離出發點最小的節點 => 3
| 節點 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最優節點 | ✅ | ✅ | ✅ | ✔️ | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | |
| 0 出發 | 0 | 4 | 12 | 19 | 21 | 11 | 9 | 8 | 14 |
| 前序點 | 0 | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 0 | 2 |
更新3鄰近節點
上一次的最優節點是 3
最優節點3的鄰近節點：2、5、4中 2、5都已被標記為最優節點，處理 4
0->1->2->3->4 = 19 + 9 = 28 , 節點 4 已有值 21，21<28，因此 節點 4 的 距離 、前序節點保持不變
從未標記最優節點（4）中，找距離出發點最小的節點 => 4
| 節點 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 最優節點 | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | ✔️ | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ |
| 0 出發 | 0 | 4 | 12 | 19 | 21 | 11 | 9 | 8 | 14 |
| 前序點 | 0 | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 0 | 2 |
已時已全部結束
最短距離
從出發點0 到節點 4 的最短距離 = 21
最短路徑
反向追溯
4 的前序節點 5，5的前面是 6 ... => 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 0
因此 0 -> 7 -> 6 -> 5 -> 4 是最短路徑