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多源最短路徑的引入
Floyd演算法
原理
加入a：
加入b：
加入c：
資料結構
核心程式碼
Floyd()
void MGraph::Floyd(){
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
dist[i][j]=arc[i][j]; //dist陣列初始化
if(dist[i][j]!=INFINIT&&dist[i][j]!=0) //dist為INFINIT則無路徑，dist為0則指向自己
path[i][j]=vertex[i]+vertex[j]; //path陣列初始化
else
path[i][j]=""; //不符合則path為空串
}
}
for(int k=0;k<vertexNum;k++){ //k個頂點迴圈k次
for(int i=0;i<vertexNum;i++){ //k每迴圈一次，要更新dist和path陣列
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]){
dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
//這裡兩個path拼接的時候，第一個字串的最後一個字元和第二個字串的第一個字元重複
//用substr去除第一個字串的最後一個字元
string tmp=path[i][k].substr(0,path[i][k].length()-1);
path[i][j]=tmp+path[k][j];
}
}
}
}
displayDist();
displayPath();
}
完整程式碼
#include<iostream>
#define MAX 50
#define INFINIT 65535
#include <string>
using namespace std;
class MGraph{
private:
int vertexNum,arcNum; //頂點數，邊數
int arc[MAX][MAX]; //鄰接矩陣
string vertex[MAX]; //頂點資訊
int dist[MAX][MAX];
string path[MAX][MAX];
public:
MGraph(string v[],int n,int e);
void display();
void Floyd();
void displayDist();
void displayPath();
};
void MGraph::Floyd(){
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
dist[i][j]=arc[i][j]; //dist陣列初始化
if(dist[i][j]!=INFINIT&&dist[i][j]!=0) //dist為INFINIT則無路徑，dist為0則指向自己
path[i][j]=vertex[i]+vertex[j]; //path陣列初始化
else
path[i][j]=""; //不符合則path為空串
}
}
for(int k=0;k<vertexNum;k++){ //k個頂點迴圈k次
for(int i=0;i<vertexNum;i++){ //k每迴圈一次，要更新dist和path陣列
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]){
dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
//這裡兩個path拼接的時候，第一個字串的最後一個字元和第二個字串的第一個字元重複
//用substr去除第一個字串的最後一個字元
string tmp=path[i][k].substr(0,path[i][k].length()-1);
path[i][j]=tmp+path[k][j];
}
}
}
}
displayDist();
displayPath();
}
void MGraph::displayDist(){ //列印dist陣列
cout<<"dist陣列："<<endl;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
cout<<dist[i][j]<<"\t";
}
cout<<endl;
}
}
void MGraph::displayPath(){ //列印path陣列
cout<<"path陣列：" <<endl;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
cout<<path[i][j]<<"\t";
}
cout<<endl;
}
}
MGraph::MGraph(string v[],int n,int e){ //n是頂點數，e是邊數
vertexNum=n;
arcNum=e;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
vertex[i]=v[i];
}
for(int i=0;i<arcNum;i++){ //初始化鄰接矩陣
for(int j=0;j<arcNum;j++){
if(i==j) arc[i][j]=0;
else arc[i][j]=INFINIT;
}
}
int vi,vj,w;
for(int i=0;i<arcNum;i++){
cout<<"請輸入有向邊的兩個頂點和這條邊的權值"<<endl;
cin>>vi>>vj>>w; //輸入邊依附的兩個頂點的編號 和權值
arc[vi][vj]=w; //有邊標誌
}
}
void MGraph::display(){
cout<<"鄰接矩陣："<<endl;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
if(arc[i][j]==INFINIT)
cout<<"∞"<<"\t";
else cout<<arc[i][j]<<"\t";
}
cout<<endl;
}
cout<<endl;
cout<<"結點資訊："<<endl;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
cout<<vertex[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
int main(){
int n,e;
string v[MAX];
cout<<"請輸入頂點數和邊數"<<endl;
cin>>n>>e;
cout<<"請輸入頂點資訊"<<endl;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>v[i];
}
MGraph mgraph(v,n,e);
mgraph.display();
mgraph.Floyd();
return 0;
}
輸入：
3 5
a b c
0 1 4
0 2 11
1 0 6
1 2 2
2 0 3
輸出：
鄰接矩陣：
0 4 11
6 0 2
3 ∞ 0
結點資訊：
a b c
dist陣列：
0 4 6
5 0 2
3 7 0
path陣列：
ab abc
bca bc
ca cab
例題：娛樂中心選址
#include<iostream>
#define MAX 50
#define INFINIT 65535
#include <string>
using namespace std;
class MGraph{
private:
int vertexNum,arcNum; //頂點數，邊數
int arc[MAX][MAX]; //鄰接矩陣
string vertex[MAX]; //頂點資訊
int dist[MAX][MAX];
string path[MAX][MAX];
int rowSum[MAX];
int rowMax[MAX];
public:
MGraph(string v[],int n,int e);
void display();
void Floyd();
void displayDist();
void displayPath();
void bestCentralAmusement();
void displayRowMax();
void displayRowSum();
};
void MGraph::bestCentralAmusement(){
for(int i=0;i<vertexNum;i++)
rowSum[i]=0;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
rowSum[i]+=dist[i][j];
}
}
int tmp;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
tmp=0;
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
if(tmp<dist[i][j]) tmp=dist[i][j];
}
rowMax[i]=tmp;
}
int tmp2=INFINIT;
int index=-1;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
if(rowMax[i]<tmp2){
tmp2=rowMax[i];
index=i;
}
if(tmp2==rowMax[i]){
if(rowSum[i]<tmp2){
index=i;
}else{
;
}
}
}
displayRowMax();
displayRowSum();
cout<<"index:"<<index<<endl;
cout<<"最合適的位置是"<<vertex[index]<<endl;
}
void MGraph::displayRowSum(){
cout<<"rowSum: "<<endl;
for(int i=0;i<vertexNum;i++)
cout<<rowSum[i]<<" ";
cout<<endl;
}
void MGraph::displayRowMax(){
cout<<"rowMax:"<<endl;
for(int j=0;j<vertexNum;j++)
cout<<rowMax[j]<<" ";
cout<<endl;
}
void MGraph::Floyd(){
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
dist[i][j]=arc[i][j]; //dist陣列初始化
if(dist[i][j]!=INFINIT&&dist[i][j]!=0) //dist為INFINIT則無路徑，dist為0則指向自己
path[i][j]=vertex[i]+vertex[j]; //path陣列初始化
else
path[i][j]=""; //不符合則path為空串
}
}
for(int k=0;k<vertexNum;k++){ //k個頂點迴圈k次
for(int i=0;i<vertexNum;i++){ //k每迴圈一次，要更新dist和path陣列
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]){
dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
//這裡兩個path拼接的時候，第一個字串的最後一個字元和第二個字串的第一個字元重複
//用substr去除第一個字串的最後一個字元
string tmp=path[i][k].substr(0,path[i][k].length()-1);
path[i][j]=tmp+path[k][j];
}
}
}
}
displayDist();
displayPath();
}
void MGraph::displayDist(){ //列印dist陣列
cout<<"dist陣列："<<endl;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
cout<<dist[i][j]<<"\t";
}
cout<<endl;
}
}
void MGraph::displayPath(){ //列印path陣列
cout<<"path陣列：" <<endl;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
cout<<path[i][j]<<"\t";
}
cout<<endl;
}
}
MGraph::MGraph(string v[],int n,int e){ //n是頂點數，e是邊數
vertexNum=n;
arcNum=e;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
vertex[i]=v[i];
}
for(int i=0;i<arcNum;i++){ //初始化鄰接矩陣
for(int j=0;j<arcNum;j++){
if(i==j) arc[i][j]=0;
else arc[i][j]=INFINIT;
}
}
int vi,vj,w;
for(int i=0;i<arcNum;i++){
cout<<"請輸入有向邊的兩個頂點和這條邊的權值"<<endl;
cin>>vi>>vj>>w; //輸入邊依附的兩個頂點的編號 和權值
arc[vi][vj]=w; //有邊標誌
}
}
void MGraph::display(){
cout<<"鄰接矩陣："<<endl;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
if(arc[i][j]==INFINIT)
cout<<"∞"<<"\t";
else cout<<arc[i][j]<<"\t";
}
cout<<endl;
}
cout<<endl;
cout<<"結點資訊："<<endl;
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
cout<<vertex[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
int main(){
int n,e;
string v[MAX];
cout<<"請輸入頂點數和邊數"<<endl;
cin>>n>>e;
cout<<"請輸入頂點資訊"<<endl;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>v[i];
}
MGraph mgraph(v,n,e);
mgraph.display();
mgraph.Floyd();
mgraph.bestCentralAmusement();
return 0;
}
輸入：
5 10
a b c d e
0 1 13
0 3 4
1 0 13
1 2 15
1 4 5
2 3 12
3 0 4
3 2 12
4 2 6
4 3 3
輸出：
鄰接矩陣：
0 13 ∞ 4 ∞
13 0 15 ∞ 5
∞ ∞ 0 12 ∞
4 ∞ 12 0 ∞
∞ ∞ 6 3 0
結點資訊：
a b c d e
dist陣列：
0 13 16 4 18
12 0 11 8 5
16 29 0 12 34
4 17 12 0 22
7 20 6 3 0
path陣列：
ab adc ad abe
beda bec bed be
cda cdab cd cdabe
da dab dc dabe
eda edab ec ed
rowMax:
18 12 34 22 20
rowSum:
51 36 91 55 36
index:1
最合適的位置是b