單源最短路徑：最短路徑性質的證明

本節就之前給出的一部分性質進行嚴密的證明，而非通過“顯然”等模糊的語句。

1、三角不等式性質

引理10：設G = （ V，E）為一個帶權重的有向圖，其權重函式 w :E→R，其源節點為s。那麼對於所有邊(u, v)∈E，我們有：

δ(s, v) ≤ δ(s, u) + w(u, v)

證明：假定 p 是從 s 到結點 v 的一條最短路徑，則 p 的權重不會比任何從s 到 v 的其他路徑的權重大，不過我們在此處特指了由s到u再到v的一條路徑。

2、最短路徑估計值的鬆弛效果

引理11：（上界性質）設G = （V，E）為一個帶權重的有向圖，權重函式 w : E→R，其源節點為s，並由Initialize_Single_Source(G, s)初始化，那麼對於所有結點 v ∈V，v.d ≥ δ(s, v)，並且該不等式在對圖的邊進行任何次序的鬆弛過程中保持成立，且：v.d取得下界δ(s, v)時，將不再發生變化。

證明：我們使用歸納法。

    1、基礎步驟：在初始化後，對所有結點 v ∈ V，v.d ≥ δ（s, v)顯然成立。因為 v.d = ∞ 意味著所有的結點 v ∈V - {s}，v.d ≥ δ(s, v)，對於源節點，我們單獨考慮：若 s 在一個權重為負值的環路上，那麼δ(s, s) = -∞，否則為0.這一位置 s. d = 0 ≥ δ(s, s)必然成立。

    2、歸納步驟： 考慮對邊(u, v)的鬆弛操作。根據歸納假設，在鬆弛前，對所有 x ∈ V，我們有x.d ≥ δ(s, v)。而在對邊(u, v)進行鬆弛操作的過程中，唯一可能發生改變的d值僅有v.d，如果該值發生改變，有：

v. d = u. d + w(u, v) ≥ δ(s, u) + w(u ,v) ≥ δ(s, v)（三角不等式）即得到維持。

   3、最終，在v. d = δ(s, v)時，注意它達到其取值的下界後， v.d 無法減小，因為剛剛證明了 v.d ≥ δ(s, v)——而鬆弛操作是對當發現一條權值相對較少的路徑時，才將其更替為v.d。即鬆弛操作不增加d值——因此將不會發生變化。

3、推論12（非路徑性質）：給定一個帶權重的有向圖G=（V，E），權重函式為 w：E→R，假定從源節點 s ∈V 到給定結點 v ∈ V 之間不存在路徑，則在該圖由Initialize_Single_Source(G, s)演算法進行初始化後，我們有 v.d = δ（s, v) = ∞，並且該等式作為不變式一直維持到圖G所有鬆弛操作結束。

證明：根據上界性質，我們總有v.d ≥ δ(s, v) = ∞（注意，此處δ(s, v) = ∞ 為已知量。）因此 v.d = δ(s, v) = ∞。

 

4、引理13：設G = （V，E）為一個帶權重的有向圖，權重函式w：E→R，且邊（u, v)∈E，那麼在對邊(u, v)進行Relax(u, v, w)後，有v.d ≤ u.d + w(u, v)。

證明：若在鬆弛前，我們有 v.d > u.d + w(u, v)，那麼在鬆弛後， v. d = u.d + w(u, v)。

同時，若在鬆弛後，我們有v. d ≤ u. d + w(u, v)，那麼鬆弛後，其值仍然不會發生改變。

5、引理14（收斂性質） 設G = （V，E）為一個帶權重的有向圖，權重函式 w：E→ R。設 s ∈V為某個源節點，s -> u→v為圖中的一條最短路徑，其中u, v∈V。假定圖G由Initialize_Single_Source(G, s)初始化，並在其之後進行了一系列的鬆弛操作，其中包括對邊(u, v)的鬆弛操作Relax(u, v, w)，若在鬆弛前有u. d = δ(s, u)，那麼在鬆弛後，v.d = δ(s, v)。

證明：根據上界性質，u.d = δ(s, u)將不會發生變化。同時，在鬆弛邊(u, v)時，發生：

v. d ≤  u. d + w(u, v) = δ(s, u) + w(u, v) = δ(s, v)（最短路徑的最優子結構），同時再根據上界性質，其也會保持不變。

6、引理15（路徑鬆弛性質）：設G = （V，E）為一個帶權重的有向圖，權重函式w：E→R，設 s ∈ V 為某個源節點，考慮從 s 到Vk 的一條最短路徑p = <V0, V1,……, Vk>，若圖由Initialize_Single_Source(G, s)初始化，並進行了一系列的鬆弛操作，其中按順序對邊(V0, V1), (V1, V2),……, (Vk-1, Vk)，那麼在進行了這些鬆弛操作後，我們有 Vk. d = δ(s, Vk)，並一直保持不變，該性質與對其他邊的鬆弛操作無關。

證明：根據最優子結構和上界性質進行證明：書上還用到了歸納假設法：假設最短路徑p在第i條邊被鬆弛之後，有Vi.d = δ(s, Vi)。

則在基礎步：i = 0時，顯然 V0. d = s. d = δ(s, s) = 0 假設成立，同時s.d將在這之後不會發生變化。

在歸納步：根據最短路徑的最優子結構，從在V0到Vi的最短路徑上，V0到Vi-1也是一條最短路徑。同時我們已經有Vi-1.d =δ(s, Vi-1)，同時根據收斂性質，在對邊(Vi-1, Vi)進行鬆弛後，我們有Vi.d = δ(s, Vi)，並在這之後不會發生變化。即得到證明。

 

鬆弛操作和最短路徑樹

引理16：設G=（V，E）為一個帶權重的有向圖，權重函式 w：E→R，設 s ∈V為某個源節點，假定G不包含從源節點s可以到達的權重為負值的環路，則在圖G由Initialize_Single_Source(G, s)演算法初始化之後，前驅子圖Gp形成根節點為源節點s的有根樹，並且任何對圖G的邊的任意鬆弛操作將維持該性質不變。

證明：在初始化時，Gp中的唯一結點為 s。引理顯然成立。現在考慮經過一系列鬆弛操作後的前驅子圖Gp。

 

筆者注：以下關於無環路的證明與書上給出的方法不同，是因為我覺得書上的方法不太嚴謹——它相加了狀態不統一的結點的d值，並相消掉。（即對邊鬆弛前後）

 

首先，先證明Gp無環路：假定在鬆弛序列的某個步驟上在圖Gp建立了一個環路 c =<V0, V1, ……, Vk>，其中有V0 = Vk，那麼Vi.p  = Vi-1。同時，假定在對邊(Vk-1, Vk)進行鬆弛操作時建立了該環路。

在這之前，我們需要得知：所有環路上的結點都能從源節點s到達。——在進入環路時，必然V0需要一個前驅結點來到達，從而便能到達整個環路。根據這個資訊，我們有結論：Vi.d ＜ ∞。

之後，我們試圖證明c是一個權重為負值的環路，從而說明環路本身不存在。

在鬆弛邊(Vk-1, Vk)之前，除了Vk-1和Vk，在環路上的其他結點，我們均有：Vi.p = Vi-1。因此，我們考慮對它們的鬆弛操作——在對它們進行鬆弛操作的時候，才會發生p的修改，而此時同時發生的還有對Vi.d的修改，並使得它：

Vi.d = Vi-1. d + w(Vi-1, Vi)。同時，在對這條邊進行鬆弛操作前，我們有：Vi.d > Vi-1.d + w(Vi-1, Vi)。

同樣的，在鬆弛最後一條邊(Vk-1, Vk)前，我們也有：Vk.d > Vk-1.d +w(Vk-1, Vk)。然而，我們考慮在鬆弛邊(Vk-1, Vk)前，從Vk以V0的身份依次經過V1、……最後到達Vk-1的路徑：在之前，由於我們更新了除V0外每個結點的p值，這表明在更新後，我們有：Vk-1.d =Vk-2.d + w(Vk-2, Vk-1) = Vk-3.d+w(Vk-3, Vk-2) + w(Vk-2, Vk - 1) = V0.d + w(V0, V1) + w(V1, V2) + …… + w(Vk-2, Vk - 1)

在鬆弛最後一條邊(Vk-1, Vk)時，我們有 Vk.d > Vk-1.d + w(Vk-1, Vk)。帶入上式，有：

Vk.d > V0.d + w(V0, V1) + w(V1, V2) + ……+ w(Vk-1, Vk)。

其中，Vk.d和V0.d在對邊（Vk, Vk-1)進行鬆弛前相等——因為僅在對邊(u, v)進行鬆弛時它才發生改變。同時，消去該值後，我們右邊所得的便是整個環路的總權重——得到的結果為負值。因此得出矛盾，即環路不存在。

現在我們擁有了圖Gp是一個有向無環圖的結論。為證明其形成一棵根節點為s的有根樹，只需證明對 v ∈Vp，在Gp中存在一條從源節點s到達v的簡答路徑路徑。

證明如下：由於Vp中僅包含具有非空p值的結點，因此，再加上結點s，同時，在圖Gp中，邊Ep中僅包含(v.p, v)——即表示它是由結點的p屬性誘導的邊的集合。因而從源節點發出的邊遞迴，我們便得到一個能包含所有具有非空p值的點的圖。然而，我們可以看到，它僅證明了簡單路徑的存在，並未證明唯一性。現在又需證明其唯一性：

若在圖Gp中，從源節點s到達某個節點v具有兩條簡單路徑，那麼這兩條路徑上必然會在最後迴歸到一條路徑上（當然，也可能是直接回歸到結點v），我們假設迴歸的這個結點為u，那麼我們會顯然的發現bug：u同時具有兩個u.p屬性——這明顯是不可能的。在鬆弛操作中，必然會比較這兩個u.p的d屬性，並選擇其中一個作為u結點唯一的p屬性，並因此得到證明。

有了這麼多基礎，我們終於可以回到最初我們想要證明的東西：在執行了一系列的鬆弛操作後，所有結點都取得了其最後的最短路徑權重，則Gp為一棵最短路徑樹。

 

引理17：（前驅子圖性質）設G = （V，E）為一個帶權重的有向圖，權重函式 w ：E→R，設s∈V為源節點，假定圖G不包含從s可以到達的權重為負值的環路。假定呼叫Initialize_Single_Source(G, s)對圖進行初始化，然而對圖G的邊進行任意次序的鬆弛操作。該鬆弛操作序列將針對所有結點v∈V生成的v.d = δ(s, v)，則前驅子圖Gp形成一棵根節點為s的最短路徑樹。

證明：我們先回到最短路徑樹的定義：

一棵根節點為s的最短路徑樹是一個有向子圖G' = (V', E')，其中V' ∈ V，E' ∈ E，滿足：

1、V' 是圖G中從源節點 s 可以到達的所有結點的集合。

2、G' 形成一棵根節點為 s 的樹。

3、對於所有結點 v ∈ V'，圖G’中從結點 s 到結點 v 的唯一簡單路徑是圖G中從結點 s 到結點 v的一條最短路徑。

對性質1：在上述中，我們已經得知了在集合Vp中的結點的d 是有限值，且它們可被到達。而根據上界定理，δ(s, v) ≤ v.d，因此δ(s, v)有限，從而我們得到它是可從源節點s到達的。

對性質2：可直接由引理16匯出。

對性質3：對結點v來說，其屬性p和d是相關聯——p的選擇為其相對較短路徑上的前驅結點，而若考慮對所有邊進行鬆弛，那麼會選擇比較所有路徑上的最短路徑的前驅結點，即得到證明。

（注：詳細的證明見書394頁）