前言
在本篇文章中，我將介紹 Dijkstra 演算法解決 單源最短路徑問題 ，同時還包含了具體路徑的還原。以下是我自己的全部學習過程與思考，參考書籍為 《資料結構》(C++語言版) 鄧俊輝 編著 。
(本文作者： Amαdeus，未經允許不得轉載哦。)
最短路徑問題
最短路徑概述
在當今這個繁華的時代，我們時時刻刻生活在一張龐大的城市網路中，我們也許會想著從溫暖的家鄉奔向自己未來奮鬥的都市，抑或是夢想著逃離城市的喧囂去往那片心中的靜謐之地......然而我們始終離不開一個問題————我們如何更快地、更短距離地前往我們所規劃的目的地呢? 在這個時候，人們通常會規劃好到達目的地的最佳路線，這其實就是最短路徑問題在實際生活中的一個簡單應用。?
最短路徑問題 : 給定一個帶權有向圖 G = (V, E, W)，同時給定一個源點 u (u ∈ V)，我們要找出從源點 u 出發到其它各點的最短路徑距離，並得出這些最短路徑的具體路徑有哪些邊構成。
其實我們要求的就是從 源點 u 出發到 其它各點 的最短路徑所組成的路線網路，也就是一個 最短路徑樹。?
最短路徑示例
我們以下面這個帶權有向圖為示例
我們若以 A 為源點，得到如下的最短路徑
我們可以把源點到各點最短路徑用綠色標記一下
我們可以看出所有的最短路徑構成了一個最短路徑樹
我們要求的從 源點 到 其它各點 的最短路徑所組成的路線網路，就是這個最短路徑樹。
最短路徑樹性質
單調性
在上面的圖中，我們不難發現，當我們確定了源點 u 到某個其它的點 v 的最短路徑時，在這個最短路徑的具體路線中，若有一箇中轉點 t，那麼在這個最短路徑中從源點 u 到 t 的路徑也一定是 u 到 t 的最短路徑(之一)。也就是說，假設源點 u 到 v 的最短路徑為 p，那麼p任意的字首路徑 q 一定是最優的(最短路徑之一)。如果 q 不是最優的，那麼就會存在另一個更短的路徑比 p 更短。
這個性質還是很重要的，是解決單源最短路徑問題的核心
我們畫個圖來理解一下
歧義性
在上面的闡述中也稍微提到一點，就是最短路徑其實不一定是唯一的，有可能存在兩個路徑，它們的路徑距離一樣且都是最短的，那麼此時我們二選其一就可以啦。還有一個問題就是，我們的邊權都應當是正數，如果邊權存在非正數，那麼我們是無法定義這個圖中的最短路徑的(距離確實不能是非正數呀，除了自己到自己?)。
無環性
這個性質其實很好理解，既然我們得到的所有最短路徑構成的是一個 最短路徑樹，那麼作為一個樹，它必不會存在環。也可以由之前的 單調性 得出這個性質。
Dijkstra演算法
演算法簡介
Dijkstra 演算法是由荷蘭電腦科學家 Edsger Wybe Dijkstra 在1956年提出的，一般解決的是 帶權有向圖 的 單源最短路徑問題。
接下來介紹如何用 Dijkstra 演算法求解 單源最短路徑問題。?
演算法思路
Dijkstra 演算法將會充分利用 最短路徑樹 的 單調性 這一性質。先定下源點 u，然後採用 貪心 的策略，不斷去訪問與源點 u 相接且之前未被訪問過的最近的頂點 v(這句話裡相接的意思是指可以從 u 到達 v)，使得當前的最短路徑樹得到擴充，一直到所有頂點都在當前的最短路徑樹中，那麼就得到了源點 u 到其他所有頂點 v 的最短路徑。
我們將當前最短路徑樹所有的頂點所構成的集合稱為 集合S，而不在當前最短路徑樹中的頂點所構成的集合稱為集合V-S。
演算法步驟
1、首先需要定義一個輔助陣列 flag[]，用於標記每個頂點是否處於當前的 最短路徑樹 中，後續我們將 最短路徑樹 稱為 集合S。在初始情況下，我們會先將源點 u 劃入 集合S;
2、然後我們需要再定義一個陣列 dist[]，用於記錄當前從源點 u 到 v (v∈V-S)的最短路徑距離，比如dist[vi]就表示 u 到 vi 的當前最短路徑距離。
集合S每一次擴充都需要選擇當前不在集合S中且到源點 u 最短距離的頂點 t 作為擴充點，並且將其劃入集合S。之後的擴充操作中，就以這個 t 作為中轉點對 dist[v] 進行更新，使其記錄的距離減小。在不斷擴充集合S的過程中，dist[v]的記錄的距離大小不斷減小(可能不變)，直到最後，其記錄的便是整個圖中u 到 v* 的最短的距離；
另外，一開始我們要先初始化源點 u 到其鄰接的頂點的距離。
3、為了還原具體路徑，我們還需要一個輔助陣列 pre[]，用於記錄最短路徑中每個頂點的前驅頂點。比如 pre[v]，其記錄的是 u 到 v 的最短路徑中，頂點 v 的前驅頂點。在不斷擴充集合S的過程中，如果可以藉助當前的擴充點 t 到達 v 的距離更短，我們也要更新 v 的前驅為 t，即 pre[v] = t 。
同樣的，我們也要初始化源點 u 為其每個鄰接頂點的前驅。
動態演示
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
程式實現
以下程式是基於 圖的鄰接矩陣 實現的，如果不瞭解的話，可以先去康康別的大佬有關鄰接矩陣構建圖的文章哦 ❤❤❤
Dijkstra核心程式碼
//距離記錄陣列 , 前驅陣列
int dist[MAX], pre[MAX];
//集合S標記陣列。如果flag[i]=true,說明該頂點i已經加入到集合S(最短路徑集合);否則i屬於集合V-S
bool flag[MAX];
void Dijkstra(Graph *G, int u){
for(int v = 0; v < G->nodenums; v++){
dist[v] = G->edge[u][v]; //初始化源點u到各鄰接點v的距離
flag[v] = false;
if(dist[v] != INF)
pre[v] = u; //若有鄰接邊,頂點v有前驅頂點u
else
pre[v] = -1; //若沒有,先初始化為-1
}
flag[u] = true; //初始化集合S,只有一個元素: 源點u
dist[u] = 0; //初始化源點u到自己的最短路徑為0
/* 在集合V-S中尋找距離源點u最近的頂點t,使當前最短路徑樹最優 */
for(int i = 0; i < G->nodenums; i++){
int tmp = INF, t = u;
for(int v = 0; v < G->nodenums; v++){
if(!flag[v] && dist[v] < tmp){
//不在集合S中 並且 更小距離
t = v; //記錄在V-S中距離源點u最近的頂點v
tmp = dist[v];
}
}
if(t == u)
return; //未找到直接終止
flag[t] = true; //否則, 將t加入集合S
/* 更新集合V-S中與t鄰接的頂點到u的距離,擴充套件當前最短路徑樹 */
for(int v = 0; v < G->nodenums; v++){
if(!flag[v] && G->edge[t][v] != INF){
//不在集合S中 且 有邊
if(dist[v] > dist[t] + G->edge[t][v]){
//源點u可以藉助t到達v的距離更短
dist[v] = dist[t] + G->edge[t][v];
pre[v] = t;
}
}
}
}
}
還原具體路徑程式碼
我使用了 C++ 自帶的 棧 stack，來實現最短路徑具體路徑的還原。因為記錄的是每個頂點的前驅，所以恰好可以利用 棧 stack 的先進後出的性質。
//還原源點u到各點具體路徑
void ShowShortParth(Graph G, int u){
for(int v = 0; v < G.nodenums; v++){
if(dist[v] == INF || dist[v] == 0)
continue;
cout<<"\n點"<<G.apex[u]<<" 到 點"<<G.apex[v]<<" 的最短路徑距離為: "<<dist[v]<<endl;
cout<<"點"<<G.apex[v]<<"的前驅頂點為: 點"<<G.apex[pre[v]]<<endl;
cout<<"具體路徑為: "<<endl;
int t = pre[v]; //終點的前驅下標
//用棧儲存終點前驅們 一直到 源點
stack<int> st;
while(t != u){
st.push(t);
t = pre[st.top()];
}
cout<<G.apex[u]; //源點
while(!st.empty()){
t = st.top();
cout<<" --> "<<G.apex[t]; //中間點
st.pop();
}
cout<<" --> "<<G.apex[v]<<endl; //終點
cout<<"———————————————————"<<endl;
}
}
完整程式(含圖的鄰接矩陣)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<stack>
using namespace std;
const int MAX = 100;
const int INF = 1e7;
typedef char ApexType; //頂點名稱資料型別
typedef int EdgeType; //邊權資料型別
typedef struct {
ApexType apex[MAX]; //頂點表
EdgeType edge[MAX][MAX]; //矩陣圖
int nodenums, edgenums; //頂點個數，邊個數
}Graph;
//建立鄰接矩陣
void CreateGraph(Graph *G){
int i, j, k;
int w;
cout<<"輸入頂點個數和邊的條數: ";
cin>>G->nodenums>>G->edgenums;
//輸入頂點資訊
for(i = 0; i < G->nodenums; i++){
cout<<"輸入第 "<<i + 1<<" 個頂點的名稱: ";
cin>>G->apex[i];
}
//初始化各頂點之間的邊為無窮大
for(i = 0; i < G->nodenums; i++)
for(j = 0; j < G->nodenums; j++)
G->edge[i][j] = INF;
//錄入有向邊的資訊
for(k = 0; k < G->edgenums; k++){
EdgeType w;
cout<<"輸入<vi, vj>的對應點下標及權值: ";
cin>>i>>j>>w;
G->edge[i][j] = w;
}
}
//列印圖的鄰接矩陣
void ShowGraphInMatrix(Graph *G){
cout<<" ";
for(int i = 0; i < G->nodenums; i++)
printf("%-4c",G->apex[i]);
cout<<endl;
for(int i = 0; i < G->nodenums; i++){
printf("%-3c", G->apex[i]);
for(int j = 0; j < G->nodenums; j++){
if(G->edge[i][j] == INF)
cout<<"∞ ";
else
printf("%-4d", G->edge[i][j]);
}
cout<<endl;
}
}
//距離記錄陣列 , 前驅陣列
int dist[MAX], pre[MAX];
//集合S標記陣列。如果flag[i]=true,說明該頂點i已經加入到集合S(最短路徑集合);否則i屬於集合V-S
bool flag[MAX];
void Dijkstra(Graph *G, int u){
for(int v = 0; v < G->nodenums; v++){
dist[v] = G->edge[u][v]; //初始化源點u到各鄰接點v的距離
flag[v] = false;
if(dist[v] != INF)
pre[v] = u; //若有鄰接邊,頂點v有前驅頂點u
else
pre[v] = -1; //若沒有,先初始化為-1
}
flag[u] = true; //初始化集合S,只有一個元素: 源點u
dist[u] = 0; //初始化源點u到自己的最短路徑為0
/* 在集合V-S中尋找距離源點u最近的頂點t,使當前最短路徑樹最優 */
for(int i = 0; i < G->nodenums; i++){
int tmp = INF, t = u;
for(int v = 0; v < G->nodenums; v++){
if(!flag[v] && dist[v] < tmp){
//不在集合S中 並且 更小距離
t = v; //記錄在V-S中距離源點u最近的頂點v
tmp = dist[v];
}
}
if(t == u)
return; //未找到直接終止
flag[t] = true; //否則, 將t加入集合S
/* 更新集合V-S中與t鄰接的頂點到u的距離,擴充套件當前最短路徑樹 */
for(int v = 0; v < G->nodenums; v++){
if(!flag[v] && G->edge[t][v] != INF){
//不在集合S中 且 有邊
if(dist[v] > dist[t] + G->edge[t][v]){
//源點u可以藉助t到達v的距離更短
dist[v] = dist[t] + G->edge[t][v];
pre[v] = t;
}
}
}
}
}
//還原源點u到各點具體路徑
void ShowShortParth(Graph G, int u){
for(int v = 0; v < G.nodenums; v++){
if(dist[v] == INF || dist[v] == 0)
continue;
cout<<"\n點"<<G.apex[u]<<" 到 點"<<G.apex[v]<<" 的最短路徑距離為: "<<dist[v]<<endl;
cout<<"點"<<G.apex[v]<<"的前驅頂點為: 點"<<G.apex[pre[v]]<<endl;
cout<<"具體路徑為: "<<endl;
int t = pre[v]; //終點的前驅下標
//用棧儲存終點前驅們 一直到 源點
stack<int> st;
while(t != u){
st.push(t);
t = pre[st.top()];
}
cout<<G.apex[u]; //源點
while(!st.empty()){
t = st.top();
cout<<" --> "<<G.apex[t]; //中間點
st.pop();
}
cout<<" --> "<<G.apex[v]<<endl; //終點
cout<<"———————————————————"<<endl;
}
}
main(){
Graph G;
CreateGraph(&G);
ShowGraphInMatrix(&G);
int u;
cout << "\n輸入出發的源點下標: ";
cin>>u;
Dijkstra(&G, u);
cout<<"\n源點到所有點的單源最短路徑距離:"<<endl;
ShowShortParth(G, v);
}
程式執行圖
圖的輸入和鄰接矩陣列印
單源最短路徑及具體路徑
