【最短路徑Floyd演算法詳解推導過程】看完這篇，你還能不懂Floyd演算法？還不會？

Halburt發表於2019-04-30
演算法

簡介

 Floyd-Warshall演算法（Floyd-Warshall algorithm），是一種利用動態規劃的思想尋找給定的加權圖中多源點之間最短路徑的演算法，與Dijkstra演算法類似。該演算法名稱以創始人之一、1978年圖靈獎獲得者、史丹佛大學電腦科學系教授羅伯特·弗洛伊德命名。
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簡單的說就是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall演算法的時間複雜度為O(N3)，空間複雜度為O(N2)。

解決最短路徑問題有幾個出名的演算法:

  • 1.dijkstra演算法,最經典的單源最短路徑演算法 上篇文章已經講到

  • 2.bellman-ford演算法,允許負權邊的單源最短路徑演算法

  • 3.spfa,其實是bellman-ford+佇列優化,其實和bfs的關係更密一點

  • 4.floyd演算法,經典的多源最短路徑演算法

今天先說說Floyd

Floyd演算法詳解

描述

a）如圖：存在【0,1,2,3】 4個點，兩點之間的距離就是邊上的數字，如果兩點之間，沒有邊相連，則無法到達，為無窮大。  b）要讓任意兩點（例如從頂點a點到頂點b）之間的路程變短，只能引入第三個點（頂點k），並通過這個頂點k中轉即a->k->b，才可能縮短原來從頂點a點到頂點b的路程。那麼這個中轉的頂點k是0~n中的哪個點呢？

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演算法過程

準備

1）如圖 0->1距離為5，0->2不可達，距離為∞，0->3距離為7……依次可將圖轉化為鄰接矩陣（主對角線，也就是自身到自身，我們規定距離為0，不可達為無窮大），如圖矩陣 用於存放任意一對頂點之間的最短路徑權值。

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2）再建立一個二維陣列Path路徑陣列，用於存放任意一對頂點之間的最短路徑。每個單元格的內容表示從i點到j點途經的頂點。（初始還未開始查詢，預設-1）
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開始查詢

1）列舉所有的路徑（自己到自己不算）

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即為： 0 -> 1 , 0 -> 2 , 0 -> 3 ,
1 -> 0 , 1 -> 2 , 1 -> 3 , 2 -> 0 , 1 -> 1 , 1 -> 3 轉化成二元陣列即為： {0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，0}，{1，2}，{1，3}，{2，0}，{2，1}，{2，3}，{3，0}，{3，1}，{3，2}

2）選擇編號為0的點為中間點

{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，0}，{1，2}，{1，3}，{2，0}，{2，1}，{2，3}，{3，0}，{3，1}，{3，2} 從上面中二元組集合的第一個元素開始，迴圈執行以下過程：

1. 用i，j兩個變數分別指向二元組裡的兩個元素，比如{0，1}這個二元組，i指向0；j指向1
2. 判斷 (A[ i ][ 0 ]+A[ 0 ][ j ] ) < A[ i ][ j ] （即判斷 i -> j，i點到j點的距離是否小於從0點中轉的距離），如果false，則判斷下一組二元陣列。
3. 如果表示式為真，更新A[ i ] [ j ]的值為A[ i ] [ 0 ] + A[ 0 ] [ j ]，Path[ i ] [ j ]的值為點0（即設定i到j要經過0點中轉）
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{0，1}按照此過程執行之後，

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0->0 + 0->1的距離不小於0->1 ，下一組{0，2}，{0，3}， {1，0}，{2，0}，{3，0}也同理。

{1，2}按照此過程執行，A[1,0] 無窮大， A[0,2]也是無窮大，而A[1,4] = 4，則1點到2點肯定不會從0點中轉。

A[1][0]無窮大同理下一組{1，2}， {1，3}也同理。

{2，1}按照此過程執行，A[2][0] = 3 ,A[0][1]=5 ，A[2][1] = 3那麼 A[2][0]+ ,A[0][1] > A[2][1] ………… 依次類推，遍歷二元組集合，沒有0點適合做中轉的

3）選擇編號為1的點為中間點

4）選擇編號為2的點為中間點

依次類推，遍歷二元組集合{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，0}，{1，2}，{1，3}，{2，0}，{2，1}，{2，3}，{3，0}，{3，1}，{3，2} ，當遍歷{3，0}時，A[3][2] = 1 ,A[2][0]=3 ，A[3][0] = 不可達，那麼 2點適合做從3點到0點之間的中轉點。 設定距離矩陣A[3][0] = 1+3 =4 ，Path矩陣Path[3][0] = 2點，表示從3到0在2點中轉，距離最近。

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如圖表示（紅色單元格），從3到0，最近距離為4，在2點中轉 。

依次類推，遍歷完二元組集合

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5）選擇編號為3的點為中間點，最終結果

依次類推，遍歷二元組集合，直到所有的頂點都做過一次中間點為止。

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6）根據最終結果，就可以知道任意2點的最短距離和路徑

比如1點到2點怎麼走？根據路徑Path矩陣,Path[1][2] = 3，表示從點3中轉，即 1-> 3 ->2

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6）如果中轉點不止1個呢？

有時候不只通過一個點，而是經過兩個點或者更多點中轉會更短，即a->k1->k2b->或者a->k1->k2…->k->i…->b。 比如頂點1到頂點0，我們看陣列Path Path[1][0] = 3，說明頂點3是中轉點，那麼再從3到0 Path[3][0] = 2，說明從3到0，頂點2是中轉點，然後在從2到0 Path[2][0] = -1，說明頂點2到頂點0沒有途徑頂點，也就是說，可以由頂點2直接到頂點0，即它們有邊連線。

最終，最短路徑為1->3->2->0，距離為 A[1][0] = 6 。 顯然，這是一個逐層遞進，遞迴的過程。

演算法實現

基本定義

    //    表示無窮大 即不可達
    public static int MAX = Integer.MAX_VALUE;
    //    距離矩陣
    public int[][] dist;
    //    路徑Path矩陣
    public int[][] path;
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核心演算法

//        核心演算法
       for(int k = 0 ; k < size ; k++){
           for(int i = 0;i < size;i++){
               for(int j = 0 ;j < size;j++){
//                判斷如果 ik距離可達且 kj距離可達 且 i和j的距離是否大於 i-> k 與 k->j的距離和
                    if( dist[i][k] != MAX &&  dist[k][j] != MAX  &&  dist[i][j] > (dist[i][k] + dist[k][j]) ){
                        path[i][j]= k;
                        dist[i][j]= dist[i][k] + dist[k][j];
                    }
               }
           }
       }
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執行結果

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原始碼下載

Floyd演算法java實現-下載

Floyd演算法java實現

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