Floyd演算法之個人見解

Floyd演算法之個人見解

  因為最近有一個演算法作業要交- -，我看了看題目，大致就是帶權值求最短路徑。所以我想到了弗洛伊德演算法，我就去看了看百度，然後做個總結吧。
  假如我們去旅遊，肯定希望少走冤枉路，那麼我們就要知道任何兩個地方最短的距離。

  這四個地方，有八條公路可以到達，請注意這些公路是單向的。我們現在需要求任意兩個城市之間的最短路程，也就是求任意兩個點之間的最短路徑。這個問題這也被稱為“多源最短路徑”問題。
  現在我們需要一個二維陣列來儲存它，可以建立一個4*4矩陣，比如1號城市到2號城市的路程為2，則設e[1][2]的值為2。2號城市無法到達4號城市，則設定e[2][4]的值為∞。另外此處約定一個城市自己是到自己的也是0，例如e[1][1]為0，具體如下。
  我們知道，如果要縮短兩點的距離就只有引入中轉點（頂點k）使其路程變短（即a->k->b），有時候可能要兩個中轉點或者更多的點才會讓其路程變得更短，也就是引入k1、k2、k3等等（即a->k1->k2…->k->i…->b），例如上圖，原來4->3路程是12，如果經過1之後變成4->1->3那麼路程就變成了11了（即e[4][1]+e[1][3]=5+6=11）。所以現在將問題轉化成一般情況。

• 不經過別的中轉點
  
• 經過中轉點1
    只經過中轉點1應該怎麼求呢？只需判斷e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]要小即可，e[i][j]表示的是從i號頂點到j號頂點之間的路程。e[i][1]+e[1][j]表示的是從i號頂點先到1號頂點，再從1號頂點到j號頂點的路程之和。程式碼實現如下。

for (i = 1; i <= n; i++)
{
     for (j = 1; j <= n; j++)
      {
      	  //迴圈是遍歷整個矩陣，判斷每個點經過1是否會變小
          if (e[i][j] > e[i][1] + e[1][j])
              e[i][j] = e[i][1] + e[1][j];
      }
}

經過1之後，路程表更新為：

  通過上圖我們可以發現，標白的三個地方的路程經過1到其他點的路程變短了。

• 經過1、2中轉點
    接下來只循序經過1、2會怎麼樣呢？我們需要在只允許經過1號頂點時任意兩點的最短路程的結果下，再判斷如果經過2號頂點是否可以使得i號頂點到j號頂點之間的路程變得更短。即判斷e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小，程式碼實現為如下。

//經過1號頂點
for(i=1;i<=n;i++)
{
	for(j=1;j<=n;j++)
	{
		if (e[i][j] > e[i][1]+e[1][j])  e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];
	}
}

//經過2號頂點
for(i=1;i<=n;i++)
{
	for(j=1;j<=n;j++)
	{
		if (e[i][j] > e[i][2]+e[2][j])  e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];
	}
}

  在只允許經過1和2號頂點的情況下，任意兩點之間的最短路程更新為：

  我們可以發現之前的4->3經過1（4->1->3）變成了11，現在又經過了2（4->1->2->3）變成了10，

• 經過1、2、3中轉點
    同理，繼續在只允許經過1、2和3號頂點進行中轉的情況下，求任意兩點之間的最短路程。任意兩點之間的最短路程更新為：
  
• 經過所有中轉點
    最後允許通過所有頂點作為中轉，任意兩點之間最終的最短路程為：
  
  整個過程其實可以簡化為幾行程式碼：

for(k=0; k<n ; k++){ //簡單的說就是更新二維矩陣，將任何一個點經過任何一箇中間點之後的路程更新為最短的距離
                            //一句話概括就是：從i號頂點到j號頂點只經過前k號點的最短路程。
        for(i =0; i<n; i++){
        for(j=0; j<n; j++){
            if(e[i][j] > (e[i][k] + e[k][j])){ 
                e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];
            }
        }
    }
    }

  上面就是經過所有的中轉點，求的到任意點最短的距離。簡單的說就是從i號頂點到j號頂點只經過前k號點的最短路程。