資料結構——Floyd演算法

演算法的思想：

遍歷每個結點。然後以這個結點為中間結點來更新所有的結點。
edge(I,j) = min( edge( I , k ) + edge( k , j ) , edge( I , j ) )
edge就是邊的長度
例如：

首先 以 1 為中間結點，更新（1，2），（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）……等所有結點
其次，在以2為中間結點，更新（1，2），（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）……等所有結點
再者，在以3為中間結點，更新（1，2），（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）……等所有結點
以至於後面所有的結點。

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在這裡需要用到一個陣列來記錄前繼結點。
這個演算法的主要形式就是三層迴圈。從外到內在這裡依次為一，二，三，層迴圈。
第一層迴圈是中間結點。
第二層迴圈0是起始結點
第三層迴圈是結束結點。

---

需要定義一個path[][]陣列。初始化為每對結點的終止結點，例如（i，j）那就在i，j對應的path陣列中對應的值為j。
初始化path陣列如下：

三層迴圈如下：

程式碼如下；

//
//  main.cpp
//  Floyd
//
//  Created by 橘子和香蕉 on 2018/12/15.
//  Copyright © 2018 橘子和香蕉 All rights reserved.
//
/*
 1:求各個頂點之間的最短路徑 時間複雜度是n*3
 2:從圖的鄰接矩陣出發，
 還是和之前的演算法一樣，找一箇中間結點來更新所有的結點。假如 v到 u最短距離，還有幾個結點，比如是m，n，b
 遍歷這個結點，比如現在用m來更新所有的結點，看距離是不是短的，要是比之前短，就更新，否則，就不要更新，
 就是。D（u，v） = min（D（u，v），D（u，m）+D（m，v））
 這個演算法三層迴圈，中間結點在最外面的一層。因為這樣的才可以以他為中心，來遍歷所有的結點
 */

#include <iostream>
using namespace std;

#define VERTEXNUM 100
#define INT_MAX 9999
class Graph{
private:
    char  vertex[VERTEXNUM];//頂點表
    int edge[VERTEXNUM][VERTEXNUM];//邊表
    int vertexNum;//頂點個數
    int edgeNum;//邊的個數
    int locate(char  data);//在頂點表中找data的位置
    void initEdge();
    
public:
    Graph(int vertexNum,int edgeNum);
    void create();
    void Floyd(char start ,char end);
    void printGraph();//輸出
};

void Graph::printGraph(){
    cout<<endl;
    cout<<endl;
    cout<<"頂點邊:
";
    cout<<"vertexNum:"<<vertexNum<<" edgeNum:"<<edgeNum<<endl;
    for (int i = 0; i<vertexNum; i++) {
        cout<<vertex[i]<<"	";
    }
    cout<<endl;
    cout<<"邊表如下：
";
    
    for (int j = 0; j<vertexNum; j++) {
        for (int k = 0; k<vertexNum ; k++) {
            cout<<edge[j][k]<<"	";
        }
        cout<<endl;
    }
}

int Graph::locate(char  data){
    for (int i  = 0; i<vertexNum;i++) {
        if(vertex[i] == data){
            return I;
        }
    }
    return -1;
}
Graph::Graph(int vertexNum,int edgeNum){
    this->vertexNum = vertexNum;
    this->edgeNum = edgeNum;
    initEdge();
}
void Graph::create(){
    cout<<"input Graph data
";
    for (int i = 0; i<vertexNum; i++) {
        cin>>vertex[I];
    }
    char start ,end;
    int wieght = -1;
    for (int j = 0; j<edgeNum; j++) {
        
        cout<<"input start and end of edge:
";
        cin>>start>>end>>wieght;
        int startPosition = locate(start);
        int endPosition = locate(end);
        edge[startPosition][endPosition] = wieght;
        edge[endPosition][startPosition] = wieght;
    }
    
}
void Graph:: initEdge(){
    for (int i = 0;  i<vertexNum; i++) {
        for (int j =0 ; j<=i; j++) {
            edge[i][j] = INT_MAX;
            edge[j][i] = INT_MAX;
        }
    }
    for (int i = 0; i<vertexNum; i++) {
        for (int j = 0; j<vertexNum; j++) {
            cout<<edge[i][j]<<"	";
        }
        cout<<endl;
    }
}
void Graph::Floyd(char start,char end){
    int path[vertexNum][vertexNum];//定義路徑陣列
    for (int i = 0; i<vertexNum; i++) {//初始化，預設i到j的中間結點是j
        for (int j = 0; j<vertexNum; j++) {
            path[i][j] = j;
        }
    }
    
    for (int k = 0; k < vertexNum; k++) {
        for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
            for (int j = 0; j < vertexNum; j++) {
                if( edge[i][k]+edge[k][j] < edge[i][j]){
                    edge[i][j] = edge[i][k]+edge[k][j];
                    path[i][j] = path[i][k];
                }
            }
        }
    }
    cout<<"每一對頂點的路徑如下";
    int k = -1;
    for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
        for (int j = i+1; j < vertexNum; j++) {
            cout<<"<"<<vertex[i]<<":"<<vertex[j]<<">	";
            k = path[i][j];
            cout<<vertex[i]<<"	";
            while (k != j) {
                cout<<vertex[k]<<"	";
                k = path[k][j];
            }
            cout<<endl;
        }
    }


    
    cout<<endl;
    cout<<"path如下
";
    for (int i = 0; i < vertexNum; i++) {
        for (int j = 0; j < vertexNum; j++) {
            cout<<path[i][j]<<"	";
        }
        cout<<endl;
    }
    
    cout<<"要查詢的"<<start<<"到"<<end<<"的路徑如下
";
    int startPosition = locate(start);
    int endPosition = locate(end);
    cout<<"<"<<start<<":"<<end<<">	"<<start<<"	";
    k = path[startPosition][endPosition];
    while (k != endPosition) {
        cout<<vertex[k]<<"	";
        k = path[k][endPosition];
    }
    
    
}






int main(){
    Graph a(6, 8);
    a.create();
    a.printGraph();
    a.Floyd(`1`, `2`);
}

path陣列中儲存的是前一個結點的位置
那怎麼輸出呢？
如下所示：
測試的時候是上面的圖。
例如要查詢 1 到 2 的對應的最短路徑
先去查詢path陣列中，1 ，2 對應的值，結果是4，這就說明4是第一個中間結點，繼續查詢 path 中，4，2對應的項，發現是3，這就說明3是 2 到4 的中間結點。也就是1 到 2 的第二個中間結點，繼續查詢3 到 2 在path對應的項，發現是2，這就說明沒有中間結點了。
輸出程式碼如下：

這裡的圖的無向帶權圖，程式碼執行結果如下；