最短路之Dijkstra

书面發表於2024-08-19

Dijkstra演算法:

Dijkstra是一種求解 非負權圖 上單源最短路徑的演算法。
思路:將所有結點分為兩個集合:已經確定最短路徑的點(S)和未確定最短路長度的點集(T),開始時所有點都屬於T
初始化dist[s]=0,其他點dis都為 +∞
然後重複操作:

  1. 在T集合中找到離源點最近的點u加入S
  2. 點u進行鬆弛操作(用u更新其他點的距離)(dis[j]=(dis[j]>dis[u]+w)?dis[u]+w:dis[j])
  3. 直到T集合未空 結束
    實現
    1.樸素做法O(n2)
    2.優先佇列版O(mlogm)

樸素版Dijkstra

用的鄰接矩陣存的圖

遍歷dist陣列 找到沒用確定最短路距離源點最近的點 u 用u更新其他點

int	g[N][N],dist[N];
bool st[N];
void dijkstra()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof d)//每個點先初始化為無窮遠
    d[1]=0;

    for(int i=1;i<=n;i++)//遍歷n個點
    {
        int u=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)//遍歷dist陣列 找到未確定最短路距離源點最近的點 u
        {
            if(!st[j]&&(u==0||d[j]<d[u]))
            t=j;
    	}
    //找到u
    st[u]=true;
   		for(int i=1;i<=n;i++)//用u這個點更新其他點離源點的距離
    	{
        	dist[i]=min(dist[i],dist[u]+g[u][i]);
    	}
	}
    
  
}

時間複雜度:O(N2)

堆最佳化版Dijkstra

priority_queue<PII,vector,greater>heap;//小根堆

int e[N],ne[N],h[N],W[N],idx;
int dist[N];
booo st[N];
void add(int a,int b,int c)
{
	w[idx]=c,e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}



void Dijkstra()
{
	memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>>heap;//小根堆
    heap.push({0,1});//距離 編號
    while(heap.size())
    {
        auto u=heap.top();//未確定最短距離 離源點最近的點
        heap.pop();
        int distance=u.first,id=u.second;
        if(st[id])continue;
        st[id]=true;
        for(int i=h[id];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(d[j]>distance+w[i])
            {
                d[j]=distance+w[i];
                heap.push(d[j],j);
            } 
        }
            
        
    }
    
    
    
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
	cin>>n>>m;
	while(m--)
	{
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		add(a,b,c);
	}

	return 0;
}

時間複雜度:mlogm

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