樸素版Dijkstra
目標
找到從一個點到其他點的最短距離
思路
①初始化距離dist陣列，將起點dist距離設為0，其他點的距離設為無窮（就是很大的值）
②for迴圈遍歷n次，每層迴圈裡找出不在S集合中，且距離最近的點，然後用該點去更新其他點的距離，演算法複雜度是O（n2），適合稠密圖
例項練習
題目：https://www.acwing.com/problem/content/851/
程式碼：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=550; int n,m; int g[maxn][maxn]; int dist[maxn]; bool st[maxn]; int Dijkstra() { int i,j; //初始化距離為無窮大 memset(dist,0x3f,sizeof(dist)); //起點距離為1 dist[1]=0; //迴圈n次，就可以將所有點都加入到集合裡 for(i=1;i<=n;i++) { //用來記錄，不在S集合中，距離最近的點 int t=-1; for(j=1;j<=n;j++) { if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j])) t=j; } //加入到集合S中 st[t]=true; //更新新加入的點，到其他點的距離 for(j=1;j<=n;j++) { dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]); } } //如果還是無窮大，代表從起點走不到n if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1; else return dist[n]; } int main() { int i,j; cin>>n>>m; //初始化權值 memset(g,0x3f,sizeof(g)); while(m--) { int x,y,z; cin>>x>>y>>z; //因為會有重邊存在，只保留最小的即可 g[x][y]=min(g[x][y],z); } int ans=Dijkstra(); cout<<ans; return 0; }
如果是稀疏圖，點的個數比較多，1e5個點，用O（n2）就會爆掉，因此我們引入堆優化版的Dijstra
堆優化版的Dijkstra
原理
將找尋不在S中，且距離最近的點的方法進行優化，採用堆（優先佇列的方法），時間複雜度為mlog(n)，就可以解決
思路
對於稀疏圖，我們可以用鄰接表結構來進行儲存
先上資料，如下。
4 5 1 4 9 4 3 8 1 2 5 2 4 6 1 3 7
第一行兩個整數n m。n表示頂點個數（頂點編號為1~n），m表示邊的條數。接下來m行表示，每行有3個數x y z，表示頂點x到頂點y的邊的權值為z。下圖就是一種使用連結串列來實現鄰接表的方法。
上面這種實現方法為圖中的每一個頂點（左邊部分）都建立了一個單連結串列（右邊部分）。這樣我們就可以通過遍歷每個頂點的連結串列，從而得到該頂點所有的邊了。使用連結串列來實現鄰接表對於痛恨指標的的朋友來說，這簡直就是噩夢。
這裡我將為大家介紹另一種使用陣列來實現的鄰接表，這是一種在實際應用中非常容易實現的方法。這種方法為每個頂點i（i從1~n）也都儲存了一個類似“連結串列”的東西，裡面儲存的是從頂點i出發的所有的邊，具體如下。
首先我們按照讀入的順序為每一條邊進行編號（1~m）。比如第一條邊“1 4 9”的編號就是1，“1 3 7”這條邊的編號是5。
這裡用u、v和w三個陣列用來記錄每條邊的具體資訊，即u[i]、v[i]和w[i]表示第i條邊是從第u[i]號頂點到v[i]號頂點（u[i]àv[i]），且權值為w[i]。
再用一個first陣列來儲存每個頂點其中一條邊的編號。以便待會我們來列舉每個頂點所有的邊（你可能會問：儲存其中一條邊的編號就可以了？不可能吧，每個頂點都需要儲存其所有邊的編號才行吧！甭著急，繼續往下看）。比如1號頂點有一條邊是 “1 4 9”（該條邊的編號是1），那麼就將first[1]的值設為1。如果某個頂點i沒有以該頂點為起始點的邊，則將first[i]的值設為-1。現在我們來看看具體如何操作，初始狀態如下。
咦？上圖中怎麼多了一個next陣列，有什麼作用呢？不著急，待會再解釋，現在先讀入第一條邊“1 4 9”。
讀入第1條邊（1 4 9），將這條邊的資訊儲存到u[1]、v[1]和w[1]中。同時為這條邊賦予一個編號，因為這條邊是最先讀入的，儲存在u、v和w陣列下標為1的單元格中，因此編號就是1。這條邊的起始點是1號頂點，因此將first[1]的值設為1。
另外這條“編號為1的邊”是以1號頂點（即u[1]）為起始點的第一條邊，所以要將next[1]的值設為-1。也就是說，如果當前這條“編號為i的邊”，是我們發現的以u[i]為起始點的第一條邊，就將next[i]的值設為-1（貌似的這個next陣列很神祕啊⊙_⊙）。
讀入第2條邊（4 3 8），將這條邊的資訊儲存到u[2]、v[2]和w[2]中，這條邊的編號為2。這條邊的起始頂點是4號頂點，因此將first[4]的值設為2。另外這條“編號為2的邊”是我們發現以4號頂點為起始點的第一條邊，所以將next[2]的值設為-1。
讀入第3條邊（1 2 5），將這條邊的資訊儲存到u[3]、v[3]和w[3]中，這條邊的編號為3，起始頂點是1號頂點。我們發現1號頂點已經有一條“編號為1 的邊”了，如果此時將first[1]的值設為3，那“編號為1的邊”豈不是就丟失了？我有辦法，此時只需將next[3]的值設為1即可。現在你知道next陣列是用來做什麼的吧。next[i]儲存的是“編號為i的邊”的“前一條邊”的編號。（注：next陣列的大小由邊的數目決定，first陣列的大小由頂點的個數來決定）
讀入第4條邊（2 4 6），將這條邊的資訊儲存到u[4]、v[4]和w[4]中，這條邊的編號為4，起始頂點是2號頂點，因此將first[2]的值設為4。另外這條“編號為4的邊”是我們發現以2號頂點為起始點的第一條邊，所以將next[4]的值設為-1。
讀入第5條邊（1 3 7），將這條邊的資訊儲存到u[5]、v[5]和w[5]中，這條邊的編號為5，起始頂點又是1號頂點。此時需要將first[1]的值設為5，並將next[5]的值改為3（編號為5的邊的前一條邊的編號為3）。
此時，如果我們想遍歷1號頂點的每一條邊就很簡單了。1號頂點的其中一條邊的編號儲存在first[1]中。其餘的邊則可以通過next陣列尋找到。請看下圖。
細心的同學會發現，此時遍歷邊某個頂點邊的時候的遍歷順序正好與讀入時候的順序相反。因為在為每個頂點插入邊的時候都直接插入“連結串列”的首部而不是尾部。不過這並不會產生任何問題，這正是這種方法的其妙之處。
例項練習
題目：https://www.acwing.com/problem/content/description/852/
程式碼
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=2e5+10; typedef long long ll; ll n,m; typedef pair<int, int> PII; int h[maxn],e[maxn],w[maxn],ne[maxn],idx; int dist[maxn]; bool st[maxn]; void add(int x,int y,int c) { //權值記錄 w[idx]=c; //終點邊記錄 e[idx]=y; //儲存編號為idx的邊的前一條邊的編號 ne[idx]=h[x]; //代表以x為起點的邊的編號，這個值會發生變化 h[x]=idx++; } ll Dijkstra() { ll i,j; memset(dist,0x3f,sizeof(dist)); dist[1]=0; //尋找出非S集合外，距離最小的頂點，並將其加入，更新他到其他邊的最短距離 priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap; //push的集合中：距離，頂點（這裡為起點1） //這裡為啥距離在前，因為會先按第一個值排序，我們要找出距離最小的邊 heap.push({0,1}); while(heap.size()) { auto t=heap.top(); heap.pop(); //獲得頂點和他到起點的距離 int ver=t.second,distance=t.first; //判斷是否加入集合裡 if(st[ver]) continue; //加入到集合 st[ver]=true; //遍歷他所連線的所有邊 for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i]) { //跟ver連線的終點j int j=e[i]; //判斷j點離原點的距離 > ver點離原點的距離 + ver和j點的距離，哪個近 if(dist[j]>dist[ver]+w[i]) { //更新距離 dist[j]=dist[ver]+w[i]; //將更新後的距離，和對應的終點j，加入到裡面 heap.push({dist[j],j}); } } } //如果說原點到終點n的距離還是無窮，則代表到達不了 if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1; else return dist[n]; } int main() { ll i,j; cin>>n>>m; //初始化h陣列為-1，目的是為ne陣列賦值 memset(h,-1,sizeof(h)); while(m--) { int x,y,z; cin>>x>>y>>z; //加邊 add(x,y,z); } //堆優化版的Dijkstra ll ans=Dijkstra(); cout<<ans; return 0; }