Dijkstra 演算法的手動分析

漫舞八月（Mount256）發表於2024-06-11
演算法

目錄
  • Dijkstra 演算法
    • step0. 初始狀態
    • step1. 第一輪
    • step2. 第二輪
    • step3. 第三輪
    • step4. 第四輪

Dijkstra 演算法

以下面有向圖為例：

graph LR V0((V0)) -- 10 --> V1((V1)) V0((V0)) -- 5 --> V4((V4)) V1((V1)) -- 2 --> V4((V4)) V4((V4)) -- 3 --> V1((V1)) V1((V1)) -- 1 --> V2((V2)) V4((V4)) -- 9 --> V2((V2)) V4((V4)) -- 2 --> V3((V3)) V3((V3)) -- 7 --> V0((V0)) V3((V3)) -- 6 --> V2((V2)) V2((V2)) -- 4 --> V3((V3))

step0. 初始狀態

  • final 陣列：標記各頂點是否已找到最短路徑
V0 V1 V2 V3 V4
True False False False False
  • dist 陣列：記錄從源點（V0）到該點（Vi）的最短路徑長度
V0 V1 V2 V3 V4
0 10 ∞ ∞ 5
  • path 陣列：路徑上的前驅（前面的結點）
V0 V1 V2 V3 V4
-1 0 -1 -1 0

step1. 第一輪

【1】找到 step0 中 ：final 陣列還未確定的最短路徑，且在 dist 陣列中最小的頂點 Vi = V4，令 final[i] = True。

  • final 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
True False False False True

【2】檢查所有鄰接自 Vi = V4 的點，若其 final 值為 False，則對比 step0 中的 dist 資訊，如果找到的路徑比當前的資訊還小，則更新其 dist 和 path 資訊。

對於 V1（原本 dist = 10， path = 0）：final 值為 False，從 V0-->V4-->V1 的路徑長度為 5+3=8<10，所以需要更新其 dist =8，path = 4；

對於 V2（原本 dist = ∞， path = -1）：final 值為 False，從 V0-->V4-->V2 的路徑長度為 5+9=14<∞，所以需要更新其 dist =14，path = 4；

對於 V3（原本 dist = ∞， path = -1）：final 值為 False，從 V0-->V4-->V3 的路徑長度為 5+2=7<∞，所以需要更新其 dist =7，path = 4。

  • dist 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
0 8 14 7 5
  • path 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
-1 4 4 4 0

step2. 第二輪

【1】找到 step1 中 ：final 陣列還未確定的最短路徑，且在 dist 陣列中最小的頂點 Vi = V3，令 final[i] = True。

  • final 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
True False False True True

【2】檢查所有鄰接自 Vi = V3 的點（對應 dist = 7，path = 4），若其 final 值為 False，則對比 step1 中的 dist 資訊，如果找到的路徑比當前的資訊還小，則更新其 dist 和 path 資訊。

對於 V0：final 值為 True。

對於 V2（原本 dist = 14，path = 4）：final 值為 False，從 V0-->V4-->V3-->V2 的路徑長度為 7+6=13<14，所以需要更新其 dist =13，path = 3。

  • dist 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
0 8 13 7 5
  • path 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
-1 4 3 4 0

step3. 第三輪

【1】找到 step2 中 ：final 陣列還未確定的最短路徑，且在 dist 陣列中最小的頂點 Vi = V1，令 final[i] = True。

  • final 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
True True False True True

【2】檢查所有鄰接自 Vi = V1 的點（對應 dist = 8，path = 4），若其 final 值為 False，則對比 step2 中的 dist 資訊，如果找到的路徑比當前的資訊還小，則更新其 dist 和 path 資訊。

對於 V2（原本 dist = 13，path = 3）：final 值為 False，從 V0-->V4-->V1-->V2 的路徑長度為 8+1=9<13，所以需要更新其 dist =9，path = 1。

對於 V4：final 值為 True。

  • dist 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
0 8 9 7 5
  • path 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
-1 4 1 4 0

step4. 第四輪

【1】找到 step2 中 ：final 陣列還未確定的最短路徑，且在 dist 陣列中最小的頂點 Vi = V2，令 final[i] = True。

  • final 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
True True True True True

【2】檢查所有鄰接自 Vi = V2 的點（對應 dist = 9，path = 1），若其 final 值為 False，則對比 step2 中的 dist 資訊，如果找到的路徑比當前的資訊還小，則更新其 dist 和 path 資訊。

已經找不到其他未訪問結點，演算法結束，以下為最終結果：

  • dist 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
0 8 9 7 5
  • path 陣列：
V0 V1 V2 V3 V4
-1 4 1 4 0

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