一、佇列與優先佇列的區別
- 佇列是一種FIFO（First-In-First-Out）先進先出的資料結構，對應於生活中的排隊的場景，排在前面的人總是先通過，依次進行。
- 優先佇列是特殊的佇列，從“優先”一詞，可看出有“插隊現象”。比如在火車站排隊進站時，就會有些比較急的人來插隊，他們就在前面先通過驗票。優先佇列至少含有兩種操作的資料結構：insert（插入），即將元素插入到優先佇列中（入隊）；以及deleteMin（刪除最小者），它的作用是找出、刪除優先佇列中的最小的元素（出隊）。
二、優先佇列（堆）的特性
優先佇列的實現常選用二叉堆，在資料結構中，優先佇列一般也是指堆。
堆的兩個性質：
結構性：堆是一顆除底層外被完全填滿的二叉樹，底層的節點從左到右填入，這樣的樹叫做完全二叉樹。
堆序性：由於我們想很快找出最小元，則最小元應該在根上，任意節點都小於它的後裔，這就是小頂堆（Min-Heap）；如果是查詢最大元，則最大元應該在根上，任意節點都要大於它的後裔，這就是大頂堆(Max-heap)。
結構性：
完成二叉樹
通過觀察發現，完全二叉樹可以直接使用一個陣列表示而不需要使用其他資料結構。所以我們只需要傳入一個size就可以構建優先佇列的結構（元素之間使用compareTo方法進行比較）。
public class PriorityQueue<T extends Comparable<? super T>> {
public PriorityQueue(int capacity) {
currentSize = 0;
array = (T[]) new Comparable[capacity + 1];
}
}
複製程式碼對於陣列中的任意位置 i 的元素，其左兒子在位置 2i 上，則右兒子在 2i+1 上，父節點在 在 i/2（向下取整）上。通常從陣列下標1開始儲存，這樣的好處在於很方便找到左右、及父節點。如果從0開始，左兒子在2i+1,右兒子在2i+2,父節點在(i-1)/2（向下取整）。
堆序性：
我們這建立最小堆，即對於每一個元素X，X的父親中的關鍵字小於（或等於）X中的關鍵字，根節點除外（它沒有父節點）。
如圖所示，只有左邊是堆，右邊紅色節點違反堆序性。根據堆序性，只需要常O(1)找到最小元。
三、基本的堆操作
- insert（插入）
- 上濾：為了插入元素X，我們在下一個可用的位置建立空穴（否則會破壞結構性，不是完全二叉樹）。如果此元素放入空穴不破壞堆序性，則插入完成；否則，將父節點下移到空穴，即空穴向根的方向上冒一步。繼續該過程，直到X插入空穴為止。這樣的過程稱為上濾。
圖中演示了18插入的過程，在下一個可用的位置建立空穴（滿足結構性），發現不能直接插入，將父節點移下來，空穴上冒。繼續這個過程，直到滿足堆序性。這樣就實現了元素插入到優先佇列（堆）中。
- java實現上濾
/**
* 插入到優先佇列，維護堆序性
*
* @param x ：插入的元素
*/
public void insert(T x) {
if (null == x) {
return;
}
//擴容
if (currentSize == array.length - 1) {
enlargeArray(array.length * 2 + 1);
}
//上濾
int hole = ++currentSize;
for (array[0] = x; x.compareTo(array[hole / 2]) < 0; hole /= 2) {
array[hole] = array[hole / 2];
}
array[hole] = x;
}
/**
* 擴容方法
*
* @param newSize ：擴容後的容量，為原來的2倍+1
*/
private void enlargeArray(int newSize) {
T[] old = array;
array = (T[]) new Comparable[newSize];
System.arraycopy(old, 0, array, 0, old.length);
}
複製程式碼可以反覆使用交換操作來進行上濾過程，但如果插入X上濾d層，則需要3d次賦值；我們這種方式只需要d+1次賦值。
如果插入的元素是新的最小元從而一直上濾到根處，那麼這種插入的時間長達O(logN)。但平均來看，上濾終止得要早。業已證明，執行依次插入平均需要2.607次比較，因此平均insert操作上移元素1.607層。上濾次數只比插入次數少一次。
- deleteMin（刪除最小元）
- 下濾：類似於上濾操作。因為我們建立的是最小堆，所以刪除最小元，就是將根節點刪掉，這樣就破壞了結構性。所以我們在根節點處建立空穴，為了滿足結構性，堆中最後一個元素X必須移動到合適的位置，如果可以直接放到空穴，則刪除完成（一般不可能）；否則，將空穴的左右兒子中較小者移到空穴，即空穴下移了一層。繼續這樣的操作，直到X可以放入到空穴中。這樣就可以滿足結構性與堆序性。這個過程稱為下濾。
如圖所示：在根處建立空穴，將最後一個元素放到空穴，已滿足結構性；為滿足堆序性，需要將空穴下移到合適的位置。
注意：堆的實現中，經常發生的錯誤是只有偶數個元素，即有一個節點只有一個兒子。所以需要測試右兒子的存在性。
/**
* 刪除最小元
* 若優先佇列為空，丟擲UnderflowException
*
* @return ：返回最小元
*/
public T deleteMin() {
if (isEmpty()) {
throw new UnderflowException();
}
T minItem = findMin();
array[1] = array[currentSize--];
percolateDown(1);
return minItem;
}
/**
* 下濾方法
*
* @param hole ：從陣列下標hole1開始下濾
*/
private void percolateDown(int hole) {
int child;
T tmp = array[hole];
for (; hole * 2 <= currentSize; hole = child) {
//左兒子
child = hole * 2;
//判斷右兒子是否存在
if (child != currentSize &&
array[child + 1].compareTo(array[child]) < 0) {
child++;
}
if (array[child].compareTo(tmp) < 0) {
array[hole] = array[child];
} else {
break;
}
}
array[hole] = tmp;
}
複製程式碼這種操作最壞時間複雜度是O(logN)。平均而言，被放到根處的元素幾乎下濾到底層（即來自的那層），所以平均時間複雜度是O(logN)。
四、總結
優先佇列常使用二叉堆實現，本篇圖解了二叉堆最基本的兩個操作：插入及刪除最小元。insert以O(1)常數時間執行，deleteMin以O(logN)執行。相信大家看了之後就可以去看java的PriorityQueue原始碼了。今天只說了二叉堆最基本的操作，還有一些額外操作及分析下次再說。比如，如何證明buildHeap是線性的？以及優先佇列的應用等。
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