在資料結構中，佇列可以對應我們生活中的排隊現象，像買早點排隊，上公共汽車排隊等。但是有一些情況，我們要優先某些元素，比如：上公共汽車時，雖然在排隊，還是要優先老幼病殘孕先上車；當有多個電腦向印表機傳送列印請求時，一臺電腦要列印100頁，而其他電腦都是單頁列印，此時更合理的做法時，優先列印單頁的請求，最後再列印100頁的請求。雖然我們都向往公平，在排隊時也講究先來後到，但是在某些特殊的情況下，還是要允許加塞現象的。這就是今天要給大家講的——優先佇列。
優先佇列也是佇列，那麼最基本的兩個操作是必須有的，那就是入隊和出隊操作。我們能想到的幾種簡單的實現方法有，比如一個簡單的連結串列，入隊時就在連結串列的最後新增元素，那麼出隊時就要遍歷整個連結串列，找出最小元素，這顯然不是一個好的方案。或者我們直接使用AVL平衡二叉樹，最小元素就是最左側的子節點，很容易找到，但是在入隊和出隊的過程中，涉及到了節點的增加和刪除，那麼就要進行樹的旋轉而維持樹的平衡，這額外花費了很多開銷。那麼有沒有相對廉價一點的方案呢？這就是二叉堆的方案。
二叉堆
優先佇列的實現使用二叉堆是相當普遍的，二叉堆是一棵二叉樹，但是是有要求的二叉樹，它是一棵完全二叉樹。完全二叉樹就是樹的節點都是從上到下，從左到右去排列的，而且中間不能隔有空節點。我們看下圖中的兩個例子：
左圖中，J節點並沒有按照從左到右依次排列，所以不是完全二叉樹，而右圖中，滿足完全二叉樹的特點，是一棵完全二叉樹。
二叉堆有連個性質，一個是結構性質，一個是堆序性質。我們先來看結構性質，堆是一棵完全二叉樹，是非常有規律的。我們可以直接用陣列去表示二叉堆，而不使用鏈的結構，看下圖：
陣列中第0個元素我們空著不用，第1個元素是根節點，後面的順序就是按照完全二叉樹的順序去排。透過觀察，我們驚奇的發現瞭如下的規律，陣列中第i個元素的左子節點的位置是2i，右子節點的位置是2i+1，父節點的位置是i/2（根節點除外）。我們可以使用陣列的結構表示樹，而不是使用鏈的結構，這使得我們在遍歷樹的時候操作非常簡單。但是陣列的結構也有一個問題，那就是陣列的長度需要預先估算出來，然後隨著陣列長度的增加我們還要對其進行擴容操作。這就是二叉堆的結構性質，我們可以使用陣列去表示。
接下來我們再看看堆序性質，由於我們快速的找到最小元素，那麼最小元素我們要放到根節點上。同理，我們考慮到任意子樹也是一個二叉堆，那麼子樹中的最小元素應當在子樹的根節點。那麼也就是任意節點都應該小於它的後代節點。所以二叉堆的堆序性質就是，對於二叉堆中的任意節點，它的父節點要小於或等於該節點。我們再看下面兩個例子：
左圖中節點6的父節點是21，小於6，不滿足堆序性質，所以左圖不是二叉堆。右圖滿足堆序性質，是二叉堆。
插入
當我們向二叉堆中插入一個新的元素時，為了滿足二叉堆從上到下，從左到右的性質，我們先確定插入元素的位置，然後再和該位置的父節點作比較，如果大於父節點，那麼是滿足二叉堆性質的，直接插入就好了；如果不滿足，則需要交換兩個元素的位置，交換後再去和父節點作比較，就這樣一直遞迴下去，直到滿足二叉堆性質為止，或者交換到了根節點，是二叉堆中的最小元素。還使用上面的例子，比如我們要插入新的元素14，
由於14小於21，需要繼續向上調整，
調整到這個位置時，滿足了二叉堆的性質，我們把14插入。這樣的一個整個過程就做上濾。下面我們編寫程式實現這一過程。
/**
* 二叉堆
* @param <T>
*/
public class BinaryHeap<T extends Comparable<T>> {
private static final int DEFAULT_CAPACITY = 10;
private int currentSize;
private T[] array;
public BinaryHeap() {
this(DEFAULT_CAPACITY);
}
@SuppressWarnings("unchecked")
public BinaryHeap(int defaultCapacity) {
this.currentSize = 0;
this.array = (T[])new Comparable[defaultCapacity];
}
/**
* 二叉堆是否為空
* @return
*/
public boolean isEmpty() {
return this.currentSize == 0;
}
/**
* 使二叉堆為空
*/
@SuppressWarnings("unchecked")
public void makeEmpty() {
this.currentSize = 0;
this.array = (T[])new Comparable[DEFAULT_CAPACITY];
}
/**
* 擴充套件陣列
* @param newSize 擴充套件陣列大小
*/
@SuppressWarnings("unchecked")
private void enlargeArray(int newSize) {
if (newSize < this.array.length) {
throw new RuntimeException("擴充套件陣列小於原始陣列");
}
T[] tmpArray = (T[])new Comparable[newSize];
System.arraycopy(this.array,0,tmpArray,0,this.array.length);
this.array = tmpArray;
}
/**
* 二叉堆插入元素
* @param element 插入元素
*/
public void insert(T element) {
if (currentSize == this.array.length-1) {
enlargeArray(this.array.length * 2 - 1);
}
int hole = ++currentSize;
for (this.array[0] = element;element.compareTo(this.array[hole/2]) < 0;hole /= 2) {
this.array[hole] = this.array[hole/2];
}
this.array[hole] = element;
}
}
由於二叉堆中的元素是可比較的，所以我們定義了泛型，必須實現了Comparable介面。然後我們定義陣列array，和陣列的初始長度DEFAULT_CAPACITY。最後再定義二叉堆當前的節點數currentSize。兩個建構函式和isEmpty、makeEmpty方法比較簡單，這裡不做過多介紹了。接下來我們看一下資料擴容的方法enlargeArray，先比較一下新的長度和陣列當前長度，如果小於，則丟擲異常。然後就是建立新資料，資料複製，替換老資料。
接下來我們重點看一下insert方法，先判斷currentSize和陣列長度-1，這裡為什麼要減1呢？因為資料的第0個元素是不用的，二叉堆的根節點在第1個元素。如果相等，說明陣列已經用盡，需要擴容，擴容的時候也是採用2倍擴容，這裡減1還是因為不用根節點。然後先確定空穴的位置，hole=++currentSize，下面的for迴圈，就是上濾的過程，也是這一段的精華。大家在實現的時候，可能都會和父元素作比較，然後進行交換，這種方法沒有問題，但是交換兩個元素要用3行程式碼來完成，先把第一個變數賦值給臨時變數，再把第二個變數賦值給第一個變數，最後把臨時變數賦值給第二個變數。而這裡只使用了1行程式碼，這就是使用空穴位置的好處。在for迴圈中，將新元素賦值給第0個元素，這裡使用第0個元素是有用處的，我們接著看，然後新元素和父節點作比較，父節點的下標是hole/2，這個在前面介紹過，如果小於，當前空穴位置的值就是父節點的值，然後處理空穴的位置，就是父節點的位置，hole /=2。如果這樣一直到了根節點，也就是hole=1的時候，父節點是不存在的，但是程式中寫的是hole/2，那麼就是第0個元素，第0個元素就是新插入的元素，等於是自己和自己比較，是相等的，所以就跳出了迴圈。最後把空元素的值賦給空穴位置。這裡我們巧妙的使用第0個元素，實現了根節點的比較，使得跳出迴圈。
刪除最小值
刪除最小值，就是我們的出隊操作，由於我們使用二叉堆，所以最小值就在根節點，刪除之後，在根節點產生了一個空穴，我們把二叉堆的最後一個元素，也就是currentSize的元素放到空穴位置，再和兩個子節點的最小元素作比較，如果大於，則交換兩個元素，空穴位置下移，直到滿足二叉堆的性質為止。這個過程叫下濾。
刪除根節點13後，產生一個空穴，同時，整個陣列長度減1，我們用最後一個元素31，和空穴的最小子節點14作比較，31大於14，所以交換位置，如下：
繼續比較，31大於最小子節點21，空穴位置下移，
最後，31小於子節點32，那麼31就放在空穴位置，滿足了二叉堆的性質，整個下濾過程結束。我們用程式碼實現一下，
/**
* 取出最小值
* @return 根元素
*/
public T deleteMin() {
if (isEmpty()) {
throw new RuntimeException("二叉堆為空");
}
T minItem = this.array[1];
this.array[1] = this.array[currentSize--];
perlocateDown(1);
return minItem;
}
/**
* 下濾過程
* @param hole
*/
private void perlocateDown(int hole) {
int child;
T tmp = this.array[hole];
for (;hole * 2 <= currentSize;hole=child) {
child = hole * 2;
if (child != currentSize && this.array[child].compareTo(this.array[child+1]) > 0) {
child += 1;
}
if (this.array[child].compareTo(tmp) < 0) {
this.array[hole] = this.array[child];
} else {
break;
}
}
this.array[hole] = tmp;
}
deleteMin方法很簡單，就是取根節點元素，將最後一個元素賦值給根節點，節點個數減1，然後呼叫下濾方法。我們重點要看的就是下濾方法，入參是空穴的位置，傳入的是1，也就是根節點的位置，我們將值賦給臨時變數，這裡根節點的值是二叉堆的最後一個元素。接下來我們進入迴圈，迴圈成立的條件是空穴位置有子節點，hole*2 <= currentSize。那麼左子節點的位置是hole*2，右子節點是hole*2+1。這裡我們特殊處理的是空穴是不是隻有一個子節點，只有一個子節點的情況只會發生在二叉堆的最後的位置，如果hole*2 == currentSize，說明後只有一個子節點，而且只能是左子節點，這樣，我們就能夠找出hole的最小子節點了，判斷的邏輯是：如果hole*2 == currentSize，那麼hole只有一個左子節點，最小子節點就是hole*2；其他情況就需要比較左右子節點，誰小就用誰。這就是我們for迴圈中第一個if處的邏輯。後面的邏輯就比較簡單了，如果hole的值大於最小子節點，就進行交換，hole下移，等於最小子節點的位置，直到跳出迴圈。最後將臨時值賦給空穴位置。這就是整個的刪除和下濾的過程。
構建二叉堆
最重點的插入和刪除方法我們已經講完了，那麼如果給我們一個陣列，我們怎麼去構建一個二叉堆呢？我們還是要從二叉堆的性質入手，也就是結構性質和堆序性質。結構性質比較容易我們將第0個元素空著就可以了，那麼堆序性質怎麼解決呢？由於上面我們已經將下濾過程抽象成了一個方法，這也就不難實現了。我們先將最小的子樹，透過下濾方法變成二叉堆，最小的子樹的節點就是樹中倒數第二層的節點，倒數第二層的節點中，有的節點有子節點，有的節點沒有子節點，沒有子節點的不用下濾，那麼怎麼找到有子節點的節點呢？我們之前有個變數currentSize，這是最後一個節點的位置，它的父節點是currentSize/2，也是最後一個有子節點的節點，然後我們向前迴圈，每個節點執行一遍下濾方法，直到根節點下濾完，那麼整棵樹就是一個二叉堆了。我們實現一下，
/**
* 構建二叉堆
* @param items
*/
@SuppressWarnings("unchecked")
public BinaryHeap(T[] items) {
this.currentSize = items.length;
this.array = (T[])new Comparable[this.currentSize * 2 +1];
int i = 1;
for (T item: items) {
this.array[i++] = item;
}
buildHeap();
}
/**
* 構建二叉堆
*/
private void buildHeap() {
for (int i = this.currentSize / 2;i>0;i--) {
perlocateDown(i);
}
}
實現起來很簡單，這裡注意一下迴圈的時候，條件是i>0，不是大於等於，因為第0個元素是不用的。
總結
好了，到這裡二叉堆就介紹完了，它是實現優先佇列最基本的方法，有問題的小夥伴歡迎評論區留言~~