【線性變換/矩陣及乘法】- 圖解線性代數 03

遇見數學_李想發表於2017-04-29
矩陣圖解

線性變換是線性空間中的運動, 而矩陣就是用來描述這種變換的工具. 這樣說還是沒有直觀印象, 所以還是直接看圖解的動畫吧.

矩陣

矩陣不僅僅只是數值的表:

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其實表示了在該矩陣的作用下, 線性空間是怎樣的變化, 觀察下圖注意水平和垂直方向的伸縮:

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可以看到:

  • 垂直方向並沒有發生任何變換;

  • 水平方向伸展了 2 倍;

  • 淺紅色方格在變換後面積變成了原來的 2 倍,這裡其實就是行列式的意義Det(A)=2

再看到更多矩陣變換之前, 先來看下矩陣的本質.

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變換前矩陣的基底向量 i (1,0) 移動到了 (2,0) 的位置, 而 j 基底向量 (0,1) 還是 (0,1) 沒發生任何變換(移動) - 見下圖:

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明白了基底的變化, 那麼整個線性變換也就清楚了 - 所有向量的變化都可以由改變後的基向量線性表出. 觀察下面向量(1, 1.5) 和 (-1, -3) 變換後的位置:

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向量 (1, 1.5) 在變換後的位置, 其實就是變換後基向量的線性表示, 也可以看到矩陣的乘法是如何計算的:

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類似對於(-1, -3) 也是一樣的計算方法:

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下面再看其他的變換矩陣, 這裡矩陣 A 的對角線中有 0 :

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可以看到:

  • 水平方向變為 0 倍;

  • 垂直方向被拉伸為 2 倍;

  • 面積的變化率為 0 倍, 也就是 Det(A) = 0;

基底的變化如下:

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再來看看下面矩陣 A 的變換:

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可以看到:

  • 整個空間向左傾斜轉動;

  • 面積放大為原來的 Det(A) = 3.5 倍;

上面在 3 個不同的矩陣作用下(相乘), 整個空間發生不同的變換, 但是原點沒有改變, 且直線依然還是直線, 平行的依然保持平行, 這就是線性變換的本質. 變換矩陣 A 的每一列對應的就是變換後的基向量位置, 一旦我們知道了變換後的基向量, 就清楚了整個空間的變換情況.

類似, 在三維線性空間內, 矩陣也用於這樣的線性變換, 需要注意的是這裡行列式可以看成經過變換後體積變化的倍率(二維的是面積增大的倍率). 觀察下圖, 經過下面矩陣 A 的變換中, 空間會經過映象翻轉變換(扁平化), 所以行列式的值會是負數.

上面就是本次圖解到了一些線性代數知識點. 好了, 現在讓我們在下一篇的中再見!

因為本人水平有限, 疏忽錯誤在所難免, 希望各位老師和朋友多提寶貴意見, 幫助我改進這個系列, 感謝感謝啦!

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