Baby-Step-Gaint-Step演算法詳解

kewlgrl發表於2016-08-29
AI演算法
Baby-Step-Gaint-Step

    Baby-Step-Gaint-Step用來求解高次同餘方程 A^x ≡ B (mod C) 中已知A B C求較大x的情況。
按wiki百科所言：
①令x=i*n+j，其中n=ceil(sqrt(C))，原式變為A^(i*n+j) = B (mod C)，兩邊同時乘上A^(-n*i)，可以得到A^j=B*A^(-n*i) (mod C)；
②處理等號左邊A^j：迴圈i=[0,C-1]，求出（A^i,i)插入hash表；
③處理等號右邊B*A^(-n*i) (mod C)：由於B*A^(-n*i) =B/A^(n*i) ，則用擴充歐幾里得演算法求A^(n*i)關於模C的乘法逆元x（即滿足(A^(n*i))^x ≡ 1 (mod C)），此時B*A^(-n*i) = B*x(mod C)；
④列舉，求出左右式子相等的情況即為方程的解。


（POJ3243模板裸題AC程式碼）
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<malloc.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100000

struct Hash
{
    int a,b,next;
} hash[2*maxn];
int flag[maxn];
int top,idx;

void Insert(int a,int b)
{
    int k=b&maxn;
    if(flag[k]!=idx)
    {
        flag[k]=idx;
        hash[k].next=-1;
        hash[k].a=a;
        hash[k].b=b;
        return;
    }
    while(hash[k].next!=-1)
    {
        if(hash[k].b==b) return;
        k=hash[k].next;
    }
    hash[k].next=++top;
    hash[top].next=-1;
    hash[top].a=a;
    hash[top].b=b;
}

int Find(int b)
{
    int k=b&maxn;
    if(flag[k]!=idx) return -1;
    while(k!=-1)
    {
        if(hash[k].b==b) return hash[k].a;
        k=hash[k].next;
    }
    return -1;
}

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//擴充歐幾里得求逆元
{
    int t,d;
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    d=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x,x=y,y=t-a/b*y;
    return d;
}

int inval(int a,int b,int n)
{
    int x,y,e;
    exgcd(a,n,x,y);
    e=(long long)x*b%n;
    return e<0?e+n:e;
}

int pow_mod(long long a,int b,int c)//矩陣快速冪
{
    long long ret=1%c;
    a%=c;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%c;
        a=a*a%c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

int BabyStep(int A,int B,int C)
{
    top=maxn;
    ++idx;
    long long buf=1%C,D=buf,K;
    int i,d=0,tmp;
    for(i=0; i<=100; buf=buf*A%C,++i)//從0到100迴圈驗證：A^i≡B(mod C)
        if(buf==B) return i;//找到滿足等式的i
    while((tmp=gcd(A,C))!=1)
    {
        if(B%tmp) return -1;//因為A^x=B+k*C，所以B%tmp==0，即非零情況無解
        ++d;
        C/=tmp;
        B/=tmp;
        D=D*A/tmp%C;
    }
    int M=(int)ceil(sqrt((double)C));//向上取整
    for(buf=1%C,i=0; i<=M; buf=buf*A%C,++i)//從0到M迴圈，將(i,A^i%C)插入hash表
        Insert(i,buf);
    for(i=0,K=pow_mod((long long)A,M,C); i<=M; D=D*K%C,++i)//求D*X=B(mod C)在[0,C-1]上的解
    {
        tmp=inval((int)D,B,C);
        int w;
        if(tmp>=0&&(w=Find(tmp))!=-1)//在hash表中查詢到
            return i*M+w+d;
    }
    return -1;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int A,B,C;
    while(cin>>A>>C>>B,A||B||C)
    {
        B%=C;
        int tmp=BabyStep(A,B,C);
        if(tmp<0) puts("No Solution");
        else cout<<tmp<<endl;
    }
    return 0;
}
/**
5 58 33
2 4 3
0 0 0
**/

POJ2417&&POJ3243：http://blog.csdn.net/MIKASA3/article/details/52101588?locationNum=1

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