最近刷了很多二分查詢相關的題目，這裡將近期的收穫做一個總結，包括二分查詢的變形問題。如果能掌握，我相信以後基本上二分查詢相關的問題對你來說，都不是問題。

2 | 0 二分查詢的效率

二分查詢是啥我想不用過多的說明。我們都知道二分查詢的時間複雜程度是O(logN)。

O(logn) 查詢速度有多快呢？我們來分析一下。

我們假設資料大小是 n，每次查詢後資料都會縮小為原來的一半，也就是會除以 2。最壞情況下，直到查詢區間被縮小為空，才停止。

就因為這種特性，有的時候甚至比時間複雜度是常量級 O(1) 的演算法還要高效。為什麼這麼說呢？

因為 logn 是一個非常“恐怖”的數量級，即便 n 非常非常大，對應的 logn 也很小。比如 n 等於 2 的 32 次方，這個數很大了吧？大約是 42 億。也就是說，如果我們在 42 億個資料中用二分查詢一個資料，最多需要比較 32 次。

3 | 0 簡單的二分查詢

簡單的二分查詢我想大家應該都寫過。但是想一次將二分查詢寫對估計10個人裡面只有1個人能做到。下面給出題目和程式碼，我們具體來分析一下。

題目：在有序的陣列a裡，找到某個指定的資料value。

public int bsearch(int[] a, int value) {   int low = 0;   int high = a.length - 1;    while (low <= high) {     int mid = (low + high) / 2;     if (a[mid] == value) {       return mid;     } else if (a[mid] < value) {       low = mid + 1;     } else {       high = mid - 1;     }   }    return -1; }

上訴程式碼可以作為一個二分查詢的模板程式碼，我相信你能輕易的看懂這段程式碼。這裡需要強調幾個容易出錯的地方：

1.迴圈退出條件：

注意是low<=high，而不是 low

2.mid 的取值：

實際上，mid=(low+high)/2 這種寫法是有問題的。因為如果 low 和 high 比較大的話，兩者之和就有可能會溢位。改進的方法是將 mid 的計算方式寫成low+(high-low)/2。更進一步，如果要將效能最佳化到極致的話，我們可以將這裡的除以 2 操作轉化成位運算 low+((high-low)>>1)。因為相比除法運算來說，計算機處理位運算要快得多。

3.low 和 high 的更新

low=mid+1，high=mid-1。注意這裡的 +1 和 -1，如果直接寫成 low=mid 或者 high=mid，就可能會發生死迴圈。比如，當 high=3，low=3 時，如果 a[3]不等於 value，就會導致一直迴圈不退出。

4 | 0 二分查詢的變形

上面這種簡單的二分查詢大家基本上都會寫，需要注意的就是幾個容易出錯的地方。爭取這種簡單的二分查詢都是一次性透過。

我們平常很少會寫這種簡單的二分查詢，這裡我給出幾種常見的變形的二分查詢演算法。我們來觀察其通用性，掌握其技巧。

1. 題目：查詢第一個值等於給定值的元素 例子：a:[1,3,4,5,6,,6,6,7,8],value:6。那麼需要定位到下標為4的元素

 public int bsearch(int[] a, int value) {   int low = 0;   int high = a.length - 1 - 1;   while (low <= high) {     int mid =  low + ((high - low) >> 1);     if (a[mid] > value) {       high = mid - 1;     } else if (a[mid] < value) {       low = mid + 1;     } else {       if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;       else high = mid - 1;     }   }   return -1; }

仔細看看上訴演算法中，與之前的簡單的二分查區別在哪裡？

我們來分析一下。首先我們還是按照簡單的二分查詢來算。當找到指定值的時候我們不能直接放回結果。需要再判斷一下，左邊的元素與自身是否相同。不相同則返回結果。否則繼續二分。

2. 題目：查詢第一個大於等於給定值的元素 例子：a:[3,4,6,7,10] 如果查詢第一個大於等於5的元素，那就是6

public int bsearch(int[] a, int value) {   int low = 0;   int high = a.length - 1 - 1;   while (low <= high) {     int mid =  low + ((high - low) >> 1);     if (a[mid] >= value) {       if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;       else high = mid - 1;     } else {       low = mid + 1;     }   }   return -1; }

如果 a[mid]小於要查詢的值 value，那要查詢的值肯定在[mid+1, high]之間，所以，我們更新 low=mid+1。

對於 a[mid]大於等於給定值 value 的情況，我們要先看下這個 a[mid]是不是我們要找的第一個值大於等於給定值的元素。

如果 a[mid]前面已經沒有元素，或者前面一個元素小於要查詢的值 value，那 a[mid]就是我們要找的元素。這段邏輯對應的程式碼是第 7 行。

如果 a[mid-1]也大於等於要查詢的值 value，那說明要查詢的元素在[low, mid-1]之間，所以，我們將 high 更新為 mid-1。

5 | 0 總結

要想寫好二分查詢，首先我們必須保證充分理解最簡單的二分查詢演算法。不熟悉的話多寫幾遍。

當遇到變形的二分查詢。我們需要改動簡單的二分查詢程式碼。改動的點就在a[mid]與value的對比上加上相應的條件。

上面的兩道變形的演算法如果你多做幾遍一定會有自己的體會。

最後，需要特別主義的還是那三個特別容易出錯的地方：