如何找東西？查詢演算法之順序查詢和二分查詢詳解

二十二畫程式設計師發表於2021-05-09
演算法

本文屬於系列文章【資料結構和演算法：簡單方法】

1. 何為查詢？

我們平常做很多事情，都會涉及到大量的增刪改查操作。比如一個使用者管理系統，會涉及使用者註冊（增）、使用者登出（刪）、修改使用者資訊（改）、查詢使用者（查），其中“刪”和“改”要依賴“查”操作。

下面重點來介紹一下查詢這個重要的操作。

現給你一個點名冊，讓你查詢一個學生。我們的做法是：根據這個學生的姓名或者學號，在點名冊中一個個的比對，直到找到一個學號或姓名符合條件的學生為止，否則就可以說點名冊中沒有該學生。

學號 姓名 專業
101 張三 鍵盤清潔與維修
102 李四 母豬產後護理與保養
103 李四 計算機開關機專業操作員

點名冊是一個集合，也可稱之為查詢表，其中有大量同一型別的元素，也可稱之為記錄——學生。學生中可能有重名的，但不會有重學號的，也即，一個學號唯一對應一個學生，一個姓名可能對應多個學生。如果我們根據學號找，只要點名冊中有，那麼就可以找到唯一一個符合條件的學生。如果我們根據姓名找，那麼我們就可能找到多個符合條件的學生。

像學號和姓名這種可以標識一個學生的值，我們稱之為關鍵字，學號這種唯一標識一個元素的值為主關鍵字，姓名這種可能標識若干元素的值為次關鍵字。當集合中的元素只有一個資料項時，其關鍵字即為該資料元素的值。

比如陣列[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，其元素只有一個資料項，關鍵字即元素值本身；而點名冊中的元素——學生，卻有三個資料項——學號、姓名、專業，其中學號、姓名為關鍵字。

如果你學過資料庫，那麼以上概念很容易理解。

所謂查詢，通俗點說就是在一大群元素（集合 / 查詢表）中，依照某個查詢依據，找一個特定的、符合要求的元素（記錄）。

  • 如果找到了，即查詢成功，返回元素的資訊；

  • 如果找遍所有元素還沒找到，說明這群元素中沒有符合要求的元素，即查詢失敗，返回一個可以明顯標記失敗的值，比如“空記錄”或“空指標”。

所謂查詢依據，就是給定一個目標值，比較該目標值和關鍵字是否相等。這就要求目標值和關鍵字的型別要相同。

2. 順序查詢（Sequential Search）

順序查詢是我們最容易想到的查詢方式，上面的點名冊例子中，查詢一個學生就是用的就是順序查詢。

順序查詢思想：

從集合中的第一個元素開始至最後一個元素，逐個比較其關鍵字和目標值。

  • 若某個關鍵字和目標值相等，則查詢成功，返回所查元素的資訊；
  • 若沒有一個關鍵字和目標值相等，則查詢失敗，返回失敗標識值。

比如，給定一個陣列[11, 8, 4, 6, 9, 1, 16, 22, 14, 10]，給定目標值 key，若找到，則返回其陣列下標；否則，返回 -1：

只需從下標 0 開始遍歷整個陣列進行比較即可：

/**
 * @description: 從頭到尾遍歷整個陣列，查詢目標值 key，返回其下標 index        
 * @param {int} *array 陣列 為了說明問題簡單，這裡的陣列元素不重複
 * @param {int} length 陣列長度
 * @param {int} key 目標值
 * @return {int} 如果找到，返回目標值下標；否則返回 -1
 */
int sequential_search(int *array, int length, int key)
{
    for (int index = 0; index < length; index++) {
        if (array[index] == key) {
            return index;
        }
    }
    return -1;
}

以上程式碼存在可優化的地方，因為每次比較之前要判斷陣列是否越界：index < length，增加哨兵則可以避免這一步比較。

所謂哨兵，是一種形象的說法，將其放在陣列頭或尾，用來標記結束，當遍歷到“哨兵”時，就說明陣列中沒有目標值，查詢失敗。

為此，我們要特意在陣列中留出一個位置給“哨兵”，並且把哨兵的值設定為目標值：

像這樣，從另一側往“哨兵”一側遍歷。如果陣列中有目標值，則一定能找到；如果陣列中沒有目標值，那麼就會遍歷至“哨兵”而停下，因為“哨兵”的值就是目標值，所以返回下標為 0 時，意味著查詢失敗。

/**
 * @description: 順序查詢改進，增加哨兵
 * @param {int} *array array[0] 不存放資料元素，充當哨兵
 * @param {int} length 陣列長度
 * @param {int} key 目標值
 * @return {int} 返回0，即哨兵下標，則查詢失敗；否則成功
 */
int sequential_search_pro(int *array, int length, int key)
{
    array[0] = key; // 哨兵
    int index = length - 1;
    while (array[index] != key) {
        index--;
    }
    return index;
}

在一側放置“哨兵”的做法避免了每次遍歷進行的陣列越界檢查，這樣能提高效率。你可能會問就一句比較能提高多少效率？蚊子腿再小也是肉，而且當資料量很多時，這些“蚊子腿”就會積累成“大象腿”了。

以上就是順序查詢的基本內容，雖然加了“哨兵”可以小小地優化一下，但當資料量極大時，仍然改變不了這種查詢方法效率低下的事實。

因為我們是從一頭到另一頭“順序遍歷”，所以有時候可能目標值就在第一個位置，只查詢一次就找到了，彷彿是天選之子；但有時候可能目標值在最後一個位置，那就需要把所有元素都查詢一遍才行，當有千萬、億條資料時，這種就太可怕了。

當然，優點也有：演算法簡單好理解、適合資料量小的情況使用（使用時儘量把常用資料排在前面，這樣可以提高效率）。

3. 二分查詢（Binary Search）

回到上面舉得那個點名冊的例子，那樣一個個地找學號或姓名實在是太慢了，有沒有什麼更快的方法呢？

其實，在日常生活中的點名冊更多的是已排序的，比如按姓氏首字母、按學號大小排序，這樣一來，在找名字或找學號的時候就能有一個大致的區域了，而不必從頭到尾一個個地找。

所以，排好序的集合是便於查詢的。下面介紹一種利用已排序的查詢——二分查詢（或折半查詢）。

所謂二分查詢，關鍵在“二分”“折半”上，顧名思義，不斷將集合進行二分（折半）拆分，以此將集合拆分幾個區域，然後在某個區域中查詢。前提條件是集合中的元素是有序的，元素必須採用順序表（陣列）儲存。

二分查詢思想：

在有序順序表中，取中間元素，將有序順序表分為左半區和右半區，比較中間元素的關鍵字和目標值 key 是否相等：

  • 如果相等，則查詢成功，返回中間元素的資訊；
  • 如果不相等，說明目標值 key 在左半區或右半區：
    • 若目標值 key小於中間元素的關鍵字，則來到左半區；
    • 若目標值 key 大於中間元素的關鍵字，則來到右半區；

不斷在各半區中重複上述過程，直到查詢成功；否則，則集合中無目標值，查詢失敗。

下面結合例項，看一下具體過程。

這是一個有序的陣列，我們要查詢 33：

要想將陣列分為左右半區，需要三個標緻：最左標誌位 left、最右標誌位 right 和中間標誌位 mid。其中 mid = (left + right) / 2，確定了 mid 的值之後，與目標值 key進行比較：

中間值 28 小於目標值key，說明目標值在右半區，所以更新三個標誌位，進入右半區，然後繼續比較：

中間值 39 大於目標值key，更新三個標誌位，進入左半區：

中間值 30 小於目標值key，更新三個標誌位，進入右半區：

中間值 33 等於目標值key，返回其下標，即 mid。

具體程式碼如下：

/**
 * @description: 二分查詢
 * @param {int} *array 有序陣列
 * @param {int} length 陣列長度
 * @param {int} key 目標值，和關鍵字比較
 * @return {int} 返回目標值下標；若查詢失敗，則返回 -1
 */
int binary_search(int *array, int length, int key)
{
    int left, mid, right;
    left = 0;
    right = length - 1;
    while (left <= right) {
        mid = (left + right) / 2; // 中間下標
        if (key < array[mid]) { // key 比中間值小
            right = mid - 1; // 更新最右下標，進入左半區
        } else if (key > array[mid]) { // key 比中間值大
            left = mid + 1; // 更新最左下標，進入右半區
        } else {
            return mid; // key 等於中間值，返回其下標
        }
    }
    return -1; //未找到，返回 -1
}

二分查詢的精髓在於中間標誌位 mid 把有序順序表一分為二，通過比較中間值和目標值的大小關係，能夠篩選掉一半的資料，相當於減少了一半的工作量。

上例只比較了四次，就找到了目標值，如果使用順序查詢，則需要八次。

可以看出，二分查詢的效率相較於順序查詢有了很大提高，但美中不足的是二分查詢必須要求元素有序。在元素的有序狀態不變化或不經常變化的情景下，二分查詢非常合適；但是如果涉及到頻繁的插入和刪除操作，就意味著元素的有序狀態會被頻繁破壞，這樣一來，我們就不得不花精力去維護元素的有序狀態，自然又會降低效率，所以要根據實際情況靈活取捨。

以上就是順序查詢和二分查詢的內容。

完整程式碼請移步至 GitHub | Gitee 獲取。

如有錯誤，還請指正。

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