查詢——二分查詢

城北有個混子發表於2020-09-18

　　二分查詢也叫做折半查詢，查詢的物件是已經排好序的序列（一般預設為升序）。

　　讓我們來看看原理：顧名思義，就是先將中間數和目標key比較，如果相等則返回其索引，否則把序列分成兩半，根據大小判斷所查詢的key在哪一半中，對這一半序列再重複上述步驟，直到找到目標key或查詢完序列。

一般的二分查詢

　　被查詢的序列arr中無重複的元素，在此序列中查詢目標數target。

　　被查詢的序列示例：int[] arr1 = { 1, 2, 4, 5, 8, 13, 19, 20, 33, 38, 40, 48, 88 }。

public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
    if (arr == null || arr.length == 0) {
        return -1;
    }
　　 // 確定別查詢的區間
    int left = 0;
    int right = arr.length - 1;
　　 // 開始查詢【left，right】區間
    while (left <= right) {
　　　　　// 找到中間數的索引
        int mid = (left + right) / 2;
　　　　　// 判斷 中間數 和 target 的大小
        if (arr[mid] == target) {　　　　　// 若相等，則返回其索引
            return mid;
        } else if (arr[mid] > target) {　 // 若大於，確定前半段區間
            right = mid - 1;
        } else if (arr[mid] < target) {　 // 若小於，確定後半段區間
            left = mid + 1;
        }
    }
　　 // 如果未查詢到，則返回-1
    return -1;
}

　　第一步，初始化原序列，left指向索引為0的位置，即此區間的第一個元素，right指向索引為arr.length-1的位置，即此區間最後一個元素，也就是說這個區間是閉區間，[left，right]區間內的元素都是被查的元素。

　　第二步，找到中間元素的索引mid，判斷中間元數和目標數target的值是否相等：

  • 若中間數等於target，說明已經找到了目標數了，查詢成功，直接返回其索引mid；
  • 若中間數小於target，說明要查詢的數在後半段，即[mid+1，right]，所以將mid+1值賦給left，確定下次要查詢的區間，重複第二步；
  • 若中間數大於target，說明要查詢的數在前半段，即[left，mid-1]，所以將mid-1值賦給right，確定下次要查詢的區間，重複第二步；

 　　第三步，當查詢到left==right時，是最後一個區間，即[left，left],此區間只有一個元素，即下標為left的元素。如果此元素是目標數則查詢成功，返回其索引；如果不是，會重新確定left或right的值，使得left>right，查詢完畢退出迴圈，返回-1。

有重複元素的二分查詢

　　被查詢的序列arr中有重複的元素，在此序列中查詢目標數target。

　　被查詢的序列示例：int[] arr1 = { 1, 2, 5, 5, 5, 13, 19, 33, 33, 38, 40, 48, 48 }。

1.尋找左側邊界的二分查詢

　　顧名思義，就是當序列中被查詢的數有多個時，找到最左邊的那個數的位置，然後返回其索引。當然，如果被查詢的數只有一個，找到並返回其索引就好了，否則返回-1。

public static int binarySearch1(int[] arr, int target) {
    if (arr == null || arr.length == 0) {
        return -1;
    }
    int left = 0;
    int right = arr.length;               // 右側未閉合
    while (left < right) {                // left==right時，退出迴圈
        int mid = (left + right) / 2;
        if (arr[mid] == target) {         // 找到時，right向右側靠攏，記住此位置
            right = mid;
        }else if (arr[mid] < target) {    // 小於時，左側閉合，向右靠攏
            left = mid + 1;
        }else if (arr[mid] > target) {    // 大於時，右側不閉合，向左靠攏
            right = mid;
        }
    }
    if (left == arr.length) {            // 如果target大於所有元素，返回-1
        return -1;
    }
    return arr[left] == target ? left : -1;
}

 　　大框架並沒有發生變化，改變的地方需要說一下：

　　首先，while的條件變了， left <= righ 變成了 left < right ，當left == right時退出迴圈，為什麼要變呢？因為我們這次所查詢的區間是左閉右開的，[left，right)，當left增長到left == right時，所查詢的區間已查詢完畢，這時我們就要退出迴圈了。為什麼要這樣設計？此中妙處，請往下看。

　　 if (left == arr.length) { return -1; } 這段程式碼是幹啥的？這是當我們要查詢的數大於此序列的所有數時，left會一直增加到left == right，而此時的right並未改變,就是arr.length。這段程式碼是為了處理這這種情況。

　　當中間數不是target時，調整下次要查詢的區間的範圍，大家應該可以理解，因為這是左閉右開的區間。

　　當中間數等於target時， right = mid; ，怎麼回事？找到 target 時不要立即返回，而是縮小「搜尋區間」的上界 right，在區間 [left, mid) 中繼續搜尋，即不斷向左收縮，達到鎖定左側邊界的目的。當然，如果此時right鎖定的就是左邊界，left會一直向右收縮，直到left == right。

　　最後的 return arr[left] == target ? left : -1; 是為了應對target小於所有數時的情況和是否找到target時的情況。

 2.尋找右側邊界的二分搜尋

　　與上面的相反，就是當序列中被查詢的數有多個時，找到最右邊的那個數的位置，然後返回其索引。當然，如果被查詢的數只有一個，找到並返回其索引就好了，否則返回-1。

public static int binarySearch2(int[] arr, int target) {
    if (arr == null || arr.length == 0) {
        return -1;
    }
    int left = 0;
    int right = arr.length;
    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (arr[mid] == target) {
            left = mid+1;
        }else if (arr[mid] < target) {
            left = mid+1;
        }else if (arr[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    if (left == 0) {
        return -1;
    }
    return arr[left-1] == target ? (left-1) : -1;
}

　　當我們查詢左邊界的時候，我們是用right指標來鎖定左側邊界的；同理，當我們查詢右邊界的時候，我們用left來鎖定右邊界，但有一點小區別，因為查詢區間是左閉右開的，left指向的元素在查詢範圍內，因此我們用left的前一個元素來鎖定右邊界。

　　這就是為什麼當中間元素等於target時，我們要 left = mid+1; 呢，left的前一個元素最終會鎖定的右邊界，這也就對應了後面的return語句中為什麼是left - 1，因為left - 1指向的最右邊的target元素。

　　 if (left == 0) { return -1; } 這段程式碼是為了應對當target小於所有元素時的情況，因為後面有left-1，沒有這條語句的話會造成索引越界的情況。

總結一下

　　二分查詢有一個實現框架：

public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
    if (arr == null || arr.length == 0) {
        return -1;
    }
    int left = 0;
    int right = --------;
    while (--------) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (arr[mid] == target) {
            --------;
        } else if (arr[mid] > target) {
            right = --------;
        } else if (arr[mid] < target) {
            left = --------;
        }
    }
    return --------;
}

　　當我們實現時根據題目的具體要求，來調整框架中所填部分的值。

　　一般的二分查詢最為簡單；當有重複數字時，查詢相對複雜一些，本文中只提到了查詢左右邊界的情況，但平常我們還會遇到一些變種的二分查詢情況，比如：查詢最後一個等於或者小於key的元素、查詢最後一個小於key的元素、查詢第一個等於或者大於key的元素、查詢第一個大於key的元素等。雖然變化很多，但萬變不離其宗！讀者只要理解查詢的原理和每一步的過程，將其融會貫通，便可攻無不克。

 

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