二分查詢法

輕描淡寫發表於2019-12-10

概述

在介紹二分查詢之前，對於基於數字索引的陣列元素的查詢，我們可能第一反應都是遍歷這個陣列，直到給定陣列元素值和待查詢的值相等時，返回索引值並退出，否則一直遍歷到最後一個元素，如果還是沒有找到則返回 -1，這樣的查詢雖然是簡單粗暴了點，但是對於規模不大的資料集，也是沒什麼問題的，不過很明顯，對於 n 個元素的陣列，這種查詢的時間複雜度是 O(n)，隨著資料規模的增加，效能會越來越差，設想如果資料集的長度是 40 億（約 2 的 32 次方），那麼最差的情況需要遍歷陣列 40 億次，簡直不敢想象需要花費多長時間！那有沒有效能搞好的演算法來解決這個問題呢？

在進一步探討這個問題之前，我們先來看一個生活中的例子。我們日常生活中，很多人應該有這種經歷，朋友、同學或者同事淘了個寶貝，神秘兮兮的過來讓大家猜多少錢，在約定一個價格範圍之後（比如 10-100），大家會七嘴八舌的猜起價格來：

同事A：新淘了個寶貝，猜猜多少錢？

同事B：50塊。

同事A：高了。

同事C：30塊。

同事D：40塊。

同事A：高了。

同事E：36塊。

同事A：對了。

如果我們用順序遍歷的邏輯，最差需要 91 次，才能猜到價格，現實生活中，沒人會這麼幹，我們採用上面這種邏輯，只需要 4 次就猜到價格了，快了幾十倍，而且資料量越大，優勢越明顯。基於這種思路，我們的演算法科學家提煉出了二分查詢演算法，幫助我們在給定資料集中快速定位要查詢的元素。

實現原理

所謂二分查詢，針對的是一個有序的資料集合（這點很重要），查詢思想有點類似分治思想。每次都透過跟區間的中間元素對比，將待查詢的區間縮小為之前的一半，直到找到要查詢的元素，或者區間被縮小為 0。注意到二分查詢針對的必須是已經排序過的有序陣列，否則不能使用該演算法。圖示如下：

示例程式碼

<?php

    function binary_search($nums, $num)
    {
        return binary_search_internal($nums, $num, 0, count($nums) - 1);
    }

    function binary_search_internal($nums, $num, $low, $high)
    {
        if ($low > $high) {
            return -1;
        }

        $mid = floor(($low + $high) / 2);
        if ($num > $nums[$mid]) {
            return binary_search_internal($nums, $num, $mid + 1, $high);
        } elseif ($num < $nums[$mid]) {
            return binary_search_internal($nums, $num, $low, $mid - 1);
        } else {
            return $mid;
        }
    }

    $nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
    $index = binary_search($nums, 5);
    print $index;

效能分析

很顯然，二分查詢的時間複雜度是 O(logn)。這是一個非常恐怖的數量級，有時候甚至比 O(1) 還要高效，比如我們要在開頭提到的 40 億個數字中查詢某一個元素，也只需要32次（2 的 32 次方是 40 億數量級），這真的是非常高效了，正因如此二分查詢線上性表結構中的應用非常廣泛。

但是使用二分查詢需要注意一個前提，那就是針對有序陣列，換言之，二分查詢適用於變動不是很頻繁的靜態序列集，如果序列集變動很頻繁，經常進行插入刪除操作，那麼就要不斷維護這個序列集的排序，這個成本也很高，因此，這種情況下就不適用二分查詢了，比如我們的資料庫查詢，增刪改查很頻繁，顯然不是透過二分查詢來進行查詢的。

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