Python遞迴演算法詳解

遞迴的概念很簡單，如果函式包含了對其自身的呼叫，該函式就是遞迴的。

遞迴（Recursion），在數學與電腦科學中，是指在函式的定義中使用函式自身的方法。

在使用遞迴時，需要注意以下幾點：

遞迴就是在過程或函式裡呼叫自身

必須有一個明確的遞迴結束條件，稱為遞迴出口。

注意： 切勿忘記遞迴出口，避免函式無限呼叫。

遞迴基本步驟

每一個遞迴程式都遵循相同的基本步驟： 

1.初始化演演算法。遞迴程式通常需要一個開始時使用的種子值（seed value）。要完成此任務，可以向函式傳遞引數，或者提供一個入口函式，這個函式是非遞迴的，但可以為遞迴計算設定種子值。 

2.檢查要處理的當前值是否已經與基線條件相匹配（base case）。如果匹配，則進行處理並返回值。 

3.使用更小的或更簡單的子問題（或多個子問題）來重新定義答案。 

4.對子問題執行演演算法。 

5.將結果合併入答案的表示式。 

6.返回結果。

基線條件（base case）。基線條件是遞迴程式的層位置，在此位置時沒有必要再進行操作，可以直接返回一個結果。所有遞迴程式都必須至少擁有一個基線條件，而且必須確保它們最終會達到某個基線條件；否則，程式將永遠執行下去，直到程式缺少記憶體或者棧空間。

主要應用範圍

遞迴演演算法一般用於解決三類問題：

（1）資料的定義是按遞迴定義的。（比如Fibonacci函式）

（2）問題解法按遞迴演演算法實現。（回溯）

（3）資料的結構形式是按遞迴定義的。（比如樹的遍歷，圖的搜尋） 　

典型的演演算法

大多數學過數學、電腦科學或者讀過程式設計相關書籍的人，想必都會遇到階乘：

n! = 1 × 2 × 3 × … × n

也可以用遞迴方式定義：

n! = (n-1)! × n

其中，n >= 1，並且 0! = 1。

由於簡單、清晰，因此其常被用作遞迴的示例。

PS： 除了階乘以外，還有很多演演算法可以使用遞迴來處理，例如：斐波那契數列、漢諾塔等。

非遞迴實現

1 2 3 4 5

def  factorial(n):      result  =  1      for  i  in  range ( 2 , n + 1 ):          result  * =  i      return  result

階乘函式的遞迴實現

1 2 3

def  factorial(n):      if  n  = =  0  or  n  = =  1 :  return  1      else :  return  (n  *  factorial(n  -  1 ))

遞迴過程

為了明確遞迴步驟，對 5! 進行過程分解：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

factorial( 5 )                         # 第 1 次呼叫使用 5 5  *  factorial( 4 )                     # 第 2 次呼叫使用 4 5  *  ( 4  *  factorial( 3 ))               # 第 3 次呼叫使用 3 5  *  ( 4  *  ( 3  *  factorial( 2 )))         # 第 4 次呼叫使用 2 5  *  ( 4  *  ( 3  *  ( 2  *  factorial( 1 ))))   # 第 5 次呼叫使用 1  5  *  ( 4  *  ( 3  *  ( 2  *  1 )))              # 從第 5 次呼叫返回 5  *  ( 4  *  ( 3  *  2 ))                    # 從第 4 次呼叫返回 5  *  ( 4  *  6 )                          # 從第 3次呼叫返回 5  *  24                               # 從第 2 次呼叫返回 120                                  # 從第 1 次呼叫返回

還是這個函式factorial(N)，讓我們試試N = 999和N = 1000，問題來了，N = 999時能輸出正確答案，但當N = 1000時，就出現下面的錯誤了：

RuntimeError: maximum recursion depth exceeded

於是，請記住，預設的Python有一個可用的遞迴深度的限制，以避免耗盡計算機中的記憶體。預設是1000。　

遞迴優缺點

優點：

遞迴使程式碼看起來更加整潔、優雅

可以用遞迴將複雜任務分解成更簡單的子問題

使用遞迴比使用一些巢狀迭代更容易

缺點:

遞迴的邏輯很難除錯、跟進

遞迴演演算法解題的執行效率較低。在遞迴呼叫的過程當中系統為每一層的返回點、區域性量等開闢了棧來儲存。遞迴次數過多容易造成棧溢位等。