1. 什麼是遞迴？

下面先描述一個遞迴可能應用的實際場景：

我們有一個神祕的盒子，有一把鑰匙在這個盒子裡。

這個盒子 裡有盒子，而盒子裡面又有盒子。鑰匙可能就在某一個盒子中。為了找到鑰匙，有兩種解決思路。

下面是第一種解決方式：

1. 建立一個要查詢的盒子堆；
2. 從盒子堆取出一個盒子，在裡面找；
3. 如果找到的是盒子，則將盒子加入盒子堆中，以便以後再查詢；
4. 如果找到鑰匙，則大功告成！
5. 回到第二步。

另一種解決方法則更為清晰：

1. 檢查盒子中的每樣東西；
2. 如果是盒子，就回到第一步；
3. 如果是鑰匙，就大功告成！

對於實際上操作，我想大多數人都會採用第二種方法，而不是採用拿起又放下的第一種操作。所以說，雖然我們不知道我們在用遞迴，而實際上我們經常在用遞迴解決生活上的問題。

對於第一種方法使用while迴圈：只要盒子堆不空，就從中取盒子，並在其中仔細查詢。

def look_for_key(main_box):
  pile = main_box.make_a_pile_to_look_through()
  while pile is not empty:
    box = pile.grab_a_box()
    for item in box:
      if item.is_a_box():
        pile.append(item)
      elif item.is_a_key():
        print "found the key!"

 第二種方法使用遞迴——函式呼叫自己，這種方法的虛擬碼如下。

def look_for_key(box):
  for item in box:
    if item.is_a_box():
      look_for_key(item)
    elif item.is_a_key():
      print "found the key!

 這兩種方法的作用相同，但在我看來，第二種方法更清晰。遞迴只是讓解決方案更清晰，並沒有效能上的優勢。實際上，在有些情況下，使用迴圈的效能更好。正如大牛所言：“如果使用迴圈，程式的效能可能更高；如果使用遞迴，程式可能更容易理解。如何選擇要看什麼對你來說更重要。”

2. 基線條件和遞迴條件

因為遞迴函式要呼叫自己，旖旎次編寫這樣的函式時很容易出錯，進而導致無限迴圈。例如，要編寫一個如下的倒數計時的函式：

> 4、 3、 2、 1

為此，你可以用遞迴的方式編寫，如下所示：

def countdown(i):
  print i
  countdown(i-1)

如果執行上述程式碼，將發現一個問題：這個函式執行起來沒完沒了！

 > 3...2...1...0...-1...-2...

編寫遞迴函式時，必須告訴它如何停止遞迴。正因為如此，每個遞迴函式都用兩個部分：基線條件（base case）和遞迴條件（recursive case）。遞迴條件指的是函式呼叫自己，而基線條件則指的是函式不再呼叫自己，從而避免形成無限迴圈。

給上面的倒數計時函式新增基線條件：

def countdown(i):
  print i
  if i <= 0:
    return
  else:
    countdown(i-1)

現在，函式將像預期那樣執行：

 3. 遞迴呼叫棧

我們知道，在一個函式執行過程中呼叫另一個函式時，在計算機內部會使用使用一塊結構為棧（把棧想象成疊盤子的倉，先放進去，先拿出來）的呼叫棧。遞迴函式也使用呼叫棧！來看看計算階乘的遞迴函式factorial的呼叫棧。factorial(5)表示5! = 5*4*3*2*1。下面即為計算階乘的遞迴函式：

def fact(x):
  if x == 1:
    return 1
  else:
    return x * fact(x-1)

下面來詳細探討呼叫factorial(3)的呼叫棧是如何變化的。 棧頂的方框指出了當前執行到什麼地方。

 注意，每個fact呼叫都有自己的x變數。在一個函式呼叫中不能訪問另一個的x變數。棧在遞迴中扮演著重要角色。開頭曾提及兩種尋找鑰匙的方法，下面列出第一種方法。

使用這種方法時，你建立一個待查詢的?子堆，因此你始終知道還有哪些?子需要查詢。

使用遞迴時，則沒有盒子堆。

因為存在一個盒子堆，因此你始終知道哪些盒子需要查詢。

如果沒有盒子堆，那如何知道還有哪些盒子需要查詢呢？

此時，呼叫棧類似於下面這樣：

此時，相當於“盒子棧”儲存在棧中了！這個棧包含未完成的函式呼叫，每個函式呼叫都包含還未檢查完的盒子。使用棧很方便，它自動幫你跟蹤了盒子堆。

 使用棧雖然很方便，但是要付出代價：儲存詳盡的資訊可能要佔用大量的記憶體。每個函式呼叫都要佔用一定的記憶體，如果棧很高，就意味著計算機儲存了大量函式呼叫的資訊。在這種情況下，有兩個替代方案：

1. 重新編寫程式碼，轉而使用迴圈；
2. 使用 尾遞迴 。這是一個高階遞迴，並非所有語言都支援。

 

 

 

參考《圖解演算法》，為學習筆記。