資料結構與演算法（十一）——演算法-遞迴

一、介紹

1、介紹

　　遞迴：遞迴就是方法自己呼叫自己，每次呼叫時傳入不同的變數。遞迴有助於程式設計者解決複雜的問題，同時可以讓程式碼變得簡潔。
迭代和遞迴區別：迭代使用的是迴圈結構，遞迴使用的選擇結構。使用遞迴能使程式的結構更清晰、更簡潔、更容易讓人理解，從而減少讀懂程式碼的時間。其時間複雜度就是遞迴的次數。
　　但大量的遞迴呼叫會建立函式的副本，會消耗大量的時間和記憶體，而迭代則不需要此種付出。
　　遞迴函式分為呼叫和回退階段，遞迴的回退順序是它呼叫順序的逆序。

　　分治：當一個問題規模較大且不易求解的時候，就可以考慮將問題分成幾個小的模組，逐一解決。

2、案例

• 兔子繁殖的問題。（斐波那契數列）。
• 計算 n! 。
• 任意長度的字串反向輸出。
• 折半查詢演算法的遞迴實現。
• 漢諾塔問題
• 八皇后問題

二、迷宮問題

　　問題：尋找一條從起始點到達終點的有效路徑。

　　程式碼示例：迷宮

public class MiGong {

    /**
     * 0:該點沒有走過, 1:表示牆, 2:可以走, 3:該點已經走過,但是走不通\
     * 策略: 下->右->上->左, 如果該點走不通，再回溯
     */
    private int[][] map;
    private int desX;
    private int desY;

    /**
     * 構建 row*col的迷宮
     *
     * @param row 行
     * @param col 列
     */
    public MiGong(int row, int col) {
        if (row <= 0 || col <= 0) {
            return;
        }

        map = new int[row][col];

        // 預設 上下左右 全部為牆
        for (int i = 0; i < col; i++) {
            map[0][i] = 1;
            map[row - 1][i] = 1;
        }

        for (int i = 0; i < row; i++) {
            map[i][0] = 1;
            map[i][col - 1] = 1;
        }

    }

    /**
     * 在迷宮內部新增擋板
     *
     * @param i 橫座標
     * @param j 縱座標
     */
    public void addBaffle(int i, int j) {
        if (map == null) {
            return;
        }

        // 外面一週都是牆
        if (i > 0 && i < map.length - 1 && j > 0 && j < map[0].length - 1) {
            map[i][j] = 1;
        }
    }

    /**
     * 設定迷宮的終點位置
     *
     * @param desX 橫座標
     * @param desY 縱座標
     */
    public void setDes(int desX, int desY) {
        this.desX = desX;
        this.desY = desY;
    }

    public boolean setWay(int i, int j) {
        // 通路已經找到
        if (map[desX][desY] == 2) {
            return true;
        } else {
            if (map[i][j] != 0) {
                return false;
            }

            // map[i][j] == 0 按照策略 下->右->上->左 遞迴
            // 假定該點是可以走通.
            map[i][j] = 2;
            if (setWay(i + 1, j)) {
                return true;
            } else if (setWay(i, j + 1)) {
                return true;
            } else if (setWay(i - 1, j)) {
                return true;
            } else if (setWay(i, j - 1)) {
                return true;
            } else {
                // 說明該點是走不通，是死路
                map[i][j] = 3;
                return false;
            }
        }
    }

    // 顯示地圖
    public void show() {
        for (int i = 0; i < map.length; i++) {
            for (int j = 0; j < map[0].length; j++) {
                System.out.print(map[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

　　程式碼示例：測試類

// 測試類
public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        MiGong miGong = new MiGong(8, 7);
        miGong.addBaffle(3, 1);
        miGong.addBaffle(3, 2);
        miGong.setDes(6, 5); // 設定目的地

        System.out.println("初始地圖的情況");
        miGong.show();
        miGong.setWay(1, 1); // 設定起始位置

        System.out.println("小球走過的路徑,地圖的情況");
        miGong.show();
    }
}

// 結果
初始地圖的情況
1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1
小球走過的路徑,地圖的情況
1 1 1 1 1 1 1
1 2 0 0 0 0 1
1 2 2 2 0 0 1
1 1 1 2 0 0 1
1 0 0 2 0 0 1
1 0 0 2 0 0 1
1 0 0 2 2 2 1
1 1 1 1 1 1 1

三、八皇后問題

　　問題：在8×8格的國際象棋上擺放八個皇后，使其不能互相攻擊，即：任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，問有多少種擺法。

　　程式碼示例：八皇后

public class Queue8 {

    private static final int MAX = 8;
    // 儲存皇后放置的位置,比如 arr = {0, 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
    private final int[] array = new int[MAX];

    public static int count = 0;
    public static int judgeCount = 0;

    public void check() {
        this.check(0);
    }

    // check 是每一次遞迴時，進入到check中都有 for(int i = 0; i < max; i++)，因此會有回溯
    private void check(int n) {
        // n = 8, 表示8個皇后就已經放好
        if (n == MAX) {
            print();
            return;
        }

        for (int i = 0; i < MAX; i++) {
            array[n] = i;

            // 判斷當放置第n個皇后到i列時，是否衝突
            // 不衝突
            if (!judge(n)) {
                // 接著放n+1個皇后,即開始遞迴
                check(n + 1);
            }
        }
    }

    private boolean judge(int n) {
        judgeCount++;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 同一列 或 同一斜線
            if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }

    private void print() {
        count++;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.print(array[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }

}

　　程式碼示例：測試類

// 測試類
public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Queue8 queue8 = new Queue8();
        queue8.check();

        System.out.printf("一共有%d解法", Queue8.count);
        System.out.printf("一共判斷衝突的次數%d次", Queue8.judgeCount); // 1.5w
    }
}

四、漢諾塔問題

1、問題

2、思想

　　如果 n = 1，A -> C
　　如果 n >= 2，總是看做是兩個盤，①最下邊的盤。②上面所有的盤。則，步驟：
　　（1）先把上面所有的盤 A->B
　　（2）把最下邊的盤 A->C
　　（3）把 B 塔的所有盤 從 B->C

3、程式碼

　　程式碼示例：漢諾塔問題

// 漢諾塔
public class Hanoitower {

    // 使用分治演算法
    public static void move(int num, char a, char b, char c) {
        // 如果只有一個盤
        if (num == 1) {
            System.out.println("第1個盤從 " + a + "->" + c);
        } else {
            // n >= 2，總是看做是兩個盤，①最下邊的盤。②上面所有的盤。則，步驟：

            // 1.先把上面所有的盤 A->B.移動過程會使用到 c
            move(num - 1, a, c, b);
            // 2.把最下邊的盤 A->C
            System.out.println("第" + num + "個盤從 " + a + "->" + c);
            // 3.把 B 塔的所有盤 從 B->C.移動過程會使用到 a
            move(num - 1, b, a, c);
        }
    }
}

　　程式碼示例：測試類

// 測試類
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Hanoitower.move(3, 'A', 'B', 'C');
    }
}

// 結果
第1個盤從 A->C
第2個盤從 A->B
第1個盤從 C->B
第3個盤從 A->C
第1個盤從 B->A
第2個盤從 B->C
第1個盤從 A->C