應用場景-集合覆蓋問題
貪心演算法可以解決很多場景的問題，這裡以集合覆蓋問題為例。
假設存在下面需要付費的廣播臺，以及廣播臺訊號可以覆蓋的地區。如何選擇最少的廣播臺，讓所有的地區都可以接收到訊號？
| 廣播臺 | 覆蓋地區 |
|---|---|
| K1 | "北京", "上海", "天津" |
| K2 | "廣州", "北京", "深圳" |
| K3 | "成都", "上海", "杭州" |
| K4 | "上海", "天津" |
| K5 | "杭州", "大連" |
例如：k4 中有上海、天津，那麼我們選擇 k1，裡面包含了他們，還多了一個地區。
貪心演算法介紹
**貪婪演算法（貪心演算法）（英語：greedy algorithm） **是指在對問題進行求解時，在 每一步選擇中都採取最好或者最優(即最有利)的選擇，從而希望能夠導致結果是最好或者最優的演算法
貪婪演算法所得到的 結果不一定是最優的結果(有時候會是最優解)，但是都是相對近似(接近)最優解的結果
思路分析
如何找出覆蓋所有地區的廣播臺的集合呢，最容易想到的是使用窮舉法實現，列出每個可能的廣播臺的集合，這被稱為 冪集。假設總的有 n 個廣播臺，則廣播臺的組合總共有 2ⁿ -1 個,假設每秒可以計算 10 個子集， 如圖:
| 廣播臺數量n | 子集總數2ⁿ | 需要的時間 |
|---|---|---|
| 5 | 32 | 3.2秒 |
| 10 | 1024 | 102.4秒 |
| 32 | 4294967296 | 13.6年 |
| 100 | 1.26*100³º | 4x10²³年 |
由此可見：在進行組合的場景下，使用組合效率是很低的。（注意：子集總數2ⁿ 之所以少了一個減 1，是因為當n很大時，那個減1是可以忽略的）
那麼貪心演算法的思路如下：
| 廣播臺 | 覆蓋地區 |
|---|---|
| K1 | "北京", "上海", "天津" |
| K2 | "廣州", "北京", "深圳" |
| K3 | "成都", "上海", "杭州" |
| K4 | "上海", "天津" |
| K5 | "杭州", "大連" |
目前並沒有演算法可以快速計算得到準確的值， 使用貪婪演算法，則可以得到非常接近的解，並且效率高。選擇策略上，因為需要覆蓋全部地區的最小集合，思路如下:
-
將所有需要覆蓋的地區找出來（allAreas）
也就是所有電臺中的覆蓋地區去重後的列表
-
遍歷所有的廣播電臺，找到一個 覆蓋了最多未覆蓋的地區 的電臺
此電臺可能包含一些已覆蓋的地區，但是沒有關係。
比如：k1 中有三個地區，在上面找出來的列表中去判定是否覆蓋其中的地區，找到則 k1 為 覆蓋了最多未覆蓋的地區 的電臺。（不懂沒關係，往後看）
-
將這個電臺加入到一個集合中（如 ArrayList），並想辦法把該電臺覆蓋的地區在下次比較時去掉。
比如：前面 k1 為 覆蓋了最多未覆蓋的地區，把 k1 加到該集合中，並從把 k1 已經覆蓋過的地區從 allAreas 中移除
-
重複第 2 步，直到覆蓋了全部的地區
圖解
給定的廣播電臺如下
| 廣播臺 | 覆蓋地區 |
|---|---|
| K1 | "北京", "上海", "天津" |
| K2 | "廣州", "北京", "深圳" |
| K3 | "成都", "上海", "杭州" |
| K4 | "上海", "天津" |
| K5 | "杭州", "大連" |
-
找出所有需要覆蓋的地區
// 遍歷所有電臺的覆蓋區域，然後去重，得到如下列表：共需要覆蓋 8 個地區 allAreas = {"北京", "上海", "天津", "廣州", "深圳", "成都", "杭州", "大連"} -
遍歷廣播電臺列表：找出一個覆蓋了最多地區的電臺，重點：如何確定覆蓋了最多的電臺？
可以這樣做：遍歷廣播臺，計算每個電臺中覆蓋的地區在未覆蓋地區列表中，覆蓋了幾個？
// 所有暫時還未覆蓋的地區列表 allAreas = {"北京", "上海", "天津", "廣州", "深圳", "成都", "杭州", "大連"}廣播臺 覆蓋地區 覆蓋數量（未覆蓋地區的數量） K1 "北京", "上海", "天津" 3 K2 "廣州", "北京", "深圳" 3 K3 "成都", "上海", "杭州" 3 K4 "上海", "天津" 2 K5 "杭州", "大連" 2 上圖覆蓋數量計算，例如：k1 覆蓋地區有三個，這三個地區現在都在 未覆蓋地區（allAreas），所以：k1 的覆蓋數量則是 3
-
找到覆蓋數量最大的電臺（每一步的選擇都選擇最優）
// 未覆蓋地區 allAreas = {"北京", "上海", "天津", "廣州", "深圳", "成都", "杭州", "大連"}上第 2 步驟中，計算出的覆蓋數量，k1 為最大的（k2 也是 3，但是不大於 k1 的覆蓋數量），計為
maxKey，將它新增到 選擇列表中，表示該電臺已被選擇，同時將 k1 中覆蓋地區，從 allAreas 列表中去掉，那麼現在的情況就如下：// 已選電臺 selects = {"k1"} // 未覆蓋地區 allAreas = {廣州", "深圳", "成都", "杭州", "大連"} -
重新計算未被選擇的電臺的覆蓋數量
// 已選電臺 selects = {"k1"} // 未覆蓋地區 allAreas = {廣州", "深圳", "成都", "杭州", "大連"}廣播臺 覆蓋地區 覆蓋數量（未覆蓋地區的數量） K1 "北京", "上海", "天津" 0 K2 "廣州", "北京", "深圳" 2 K3 "成都", "上海", "杭州" 2 K4 "上海", "天津" 0 K5 "杭州", "大連" 2 注意：因為 k1，已經被選擇過，可以不重新對它計數，也可以重新計數，對效能影響不太大。
上圖覆蓋數量計算，例如：
- k1 覆蓋地區有三個，這三個地區現在在 未覆蓋地區（allAreas）中一個都沒有，所以：k1 的覆蓋數量則是 0
- k2 覆蓋的確有三個，這三個地區現在在 未覆蓋地區（allAreas）中有 2 個：廣州、深圳，而北京已經被覆蓋掉了（k1），所以：k2 的覆蓋數量則是 2
-
找到覆蓋數量最大的電臺
當前狀態：
// 已選擇電臺 selects = {"k1"} // 所有暫時還未覆蓋的地區列表 allAreas = {廣州", "深圳", "成都", "杭州", "大連"}
此時找到下一個覆蓋數量最大的電臺後的狀態：
```java
// 已選擇電臺
selects = {"k1","K2"}
// 所有暫時還未覆蓋的地區列表
allAreas = {"成都", "杭州", "大連"}
- ... 以此類推，最後完成狀態如下
// 所有暫時還未覆蓋的地區列表
selects = {"k1","K2","K3","K5"}
allAreas = {}
程式碼實現
/**
* 貪心演算法
*/
public class GreedyAlgorithm {
/**
* 構建廣播電臺 與 覆蓋的地區
*
* k: 電臺
* v：覆蓋的地區
*
*
* @return
*/
public Map<String, Set<String>> buildBroadcasts() {
Map<String, Set<String>> broadcasts = new HashMap<>();
Set<String> k1 = new HashSet<>();
k1.add("北京");
k1.add("上海");
k1.add("天津");
Set<String> k2 = new HashSet<>();
k2.add("廣州");
k2.add("北京");
k2.add("深圳");
Set<String> k3 = new HashSet<>();
k3.add("成都");
k3.add("上海");
k3.add("杭州");
Set<String> k4 = new HashSet<>();
k4.add("上海");
k4.add("天津");
Set<String> k5 = new HashSet<>();
k5.add("杭州");
k5.add("大連");
broadcasts.put("k1", k1);
broadcasts.put("k2", k2);
broadcasts.put("k3", k3);
broadcasts.put("k4", k4);
broadcasts.put("k5", k5);
return broadcasts;
}
/**
* 貪心演算法: 選擇最少的電臺，覆蓋所有的地區
*
* @param broadcasts 電臺資訊
* @return 返回選擇的電臺列表
*/
public Set<String> greedy(Map<String, Set<String>> broadcasts) {
// 構建待覆蓋的所有地區
Set<String> allAreas = new HashSet<>();
broadcasts.forEach((k, v) -> {
allAreas.addAll(v);
});
System.out.println("需要覆蓋的地區：" + allAreas);
// 存放已選擇的電臺
Set<String> selects = new HashSet<>();
// 當所有需要覆蓋的地區還有時，則可以繼續選擇
String maxKey = null; // 當次覆蓋地區最多的電臺
int maxKeyCoverNum = 0; // maxKey 覆蓋的數量
Set<String> temp = new HashSet<>(); // 臨時變數，用於計算電臺中的覆蓋地區：在剩餘要覆蓋地區中 覆蓋的數量
while (!allAreas.isEmpty()) {
// 選擇出當次還未選擇中：覆蓋地區最多的電臺
for (String key : broadcasts.keySet()) {
Set<String> areas = broadcasts.get(key);
temp.addAll(areas);
//求出temp 和 allAreas 集合的交集, 交集會賦給 temp
temp.retainAll(allAreas);
// 如果：當前嘗試選擇的電臺，覆蓋數量比 maxKey 還大，則把它設定為 maxKey
if (temp.size() > 0 && temp.size() > maxKeyCoverNum) {
maxKey = key;
maxKeyCoverNum = temp.size();
}
//注意 要清空temp
temp.clear();
}
if (maxKey == null) {
continue;
}
// 迴圈完成後，找到了本輪的 maxKey
// 新增到已選擇列表中，並且從 未覆蓋列表 中刪除已經覆蓋過的地區
selects.add(maxKey);
allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));
// 清空臨時變數，方便下次查詢
maxKey = null;
maxKeyCoverNum = 0;
}
return selects;
}
@Test
public void fun() {
Map<String, Set<String>> broadcasts = buildBroadcasts();
System.out.println("電臺列表" + broadcasts);
Set<String> greedy = greedy(broadcasts);
System.out.println("選擇好的電臺列表：" + greedy);
}
}
測試輸出
電臺列表{k1=[上海, 天津, 北京], k2=[廣州, 北京, 深圳], k3=[成都, 上海, 杭州], k4=[上海, 天津], k5=[大連, 杭州]}
需要覆蓋的地區：[成都, 上海, 廣州, 天津, 大連, 杭州, 北京, 深圳]y
選擇好的電臺列表：[k1, k2, k3, k5]
貪婪演算法注意事項
貪婪演算法所得到的結果 不一定是最優的結果(有時候會是最優解)，但是都是相對近似(接近)最優解的結果
比如上題的演算法選出的是 K1, K2, K3, K5，符合覆蓋了全部的地區，但是我們發現 K2, K3,K4,K5 也可以覆蓋全部地區，如果 K2 的使用成本低於 K1 ，那麼我們上題的 K1, K2, K3, K5 雖然是滿足條件，但是並不是最優的.
但是筆者覺得上述舉例並不是問題：如果加上成本：那麼只要在 maxKey 覆蓋數量相等的情況下，判定採用成本更低的 key，則可解決這個問題。
總的來說，有需求，必定有解決需求的辦法。