首先簡單闡述一下遞迴，分治演算法，動態規劃，貪心演算法這幾個東西的區別和聯絡，心裡有個印象就好。
遞迴是一種程式設計技巧，一種解決問題的思維方式；分治演算法和動態規劃很大程度上是遞迴思想基礎上的（雖然實現動態規劃大都不是遞迴了，但是我們要注重過程和思想），解決更具體問題的兩類演算法思想；貪心演算法是動態規劃演算法的一個子集，可以更高效解決一部分更特殊的問題。
分治演算法將在這節講解，以最經典的歸併排序為例，它把待排序陣列不斷二分為規模更小的子問題處理，這就是“分而治之”這個詞的由來。顯然，排序問題分解出的子問題是不重複的，如果有的問題分解後的子問題有重複的（重疊子問題性質），那麼這就交給動態規劃演算法去解決！
遞迴詳解
介紹分治之前，首先要弄清楚遞迴這個概念。
遞迴的基本思想是某個函式直接或者間接地呼叫自身，這樣就把原問題的求解轉換為許多性質相同但是規模更小的子問題。我們只需要關注如何把原問題劃分成符合條件的子問題，而不需要去研究這個子問題是如何被解決的。遞迴和列舉的區別在於：列舉是橫向地把問題劃分，然後依次求解子問題，而遞迴是把問題逐級分解，是縱向的拆分。
以下會舉例說明我對遞迴的一點理解， 如果你不想看下去了，請記住這幾個問題怎麼回答：
- 如何給一堆數字排序？答：分成兩半，先排左半邊再排右半邊，最後合併就行了，至於怎麼排左邊和右邊，請重新閱讀這句話。
- 孫悟空身上有多少根毛？答：一根毛加剩下的毛。
- 你今年幾歲？答：去年的歲數加一歲，1999 年我出生。
遞迴程式碼最重要的兩個特徵：結束條件和自我呼叫。自我呼叫是在解決子問題，而結束條件定義了最簡子問題的答案。
int func(傳入數值) {
if (終止條件) return 最小子問題解;
return func(縮小規模);
}
其實仔細想想， 遞迴運用最成功的是什麼？我認為是數學歸納法。 我們高中都學過數學歸納法，使用場景大概是：我們推不出來某個求和公式，但是我們試了幾個比較小的數，似乎發現了一點規律，然後猜想了一個公式，看起來應該是正確答案。但是數學是很嚴謹的，你哪怕窮舉了一萬個數都是正確的，但是第一萬零一個數正確嗎？這就要數學歸納法發揮神威了，可以假設我們猜想的這個公式在第 k 個數時成立，如果證明在第 k + 1 時也成立，那麼我們猜想的這個公式就是正確的。
那麼數學歸納法和遞迴有什麼聯絡？我們剛才說了，遞迴程式碼必須要有結束條件，如果沒有的話就會進入無窮無盡的自我呼叫，直到記憶體耗盡。而數學證明的難度在於，你可以嘗試有窮種情況，但是難以將你的結論延伸到無窮大。這裡就可以看出聯絡了——無窮。
遞迴程式碼的精髓在於呼叫自身去解決規模更小的子問題，直到到達結束條件；而數學歸納法之所以有用，就在於不斷把我們的猜測向上加一，擴大結論的規模，沒有結束條件，從而把結論延伸到無窮無盡，也就完成了猜測正確性的證明。
為什麼要寫遞迴
首先為了訓練逆向思考的能力。遞推的思維是正常人的思維，總是看著眼前的問題思考對策，解決問題是將來時；遞迴的思維，逼迫我們倒著思考，看到問題的盡頭，把解決問題的過程看做過去時。
第二，練習分析問題的結構，當問題可以被分解成相同結構的小問題時，你能敏銳發現這個特點，進而高效解決問題。
第三，跳出細節，從整體上看問題。再說說歸併排序，其實可以不用遞迴來劃分左右區域的，但是代價就是程式碼極其難以理解，大概看一下程式碼（歸併排序在後面講，這裡大致看懂意思就行，體會遞迴的妙處）：
void sort(Comparable[] a){
int N = a.length;
// 這麼複雜，是對排序的不尊重。我拒絕研究這樣的程式碼。
for (int sz = 1; sz < N; sz = sz + sz)
for (int lo = 0; lo < N - sz; lo += sz + sz)
merge(a, lo, lo + sz - 1, Math.min(lo + sz + sz - 1, N - 1));
}
/* 我還是選擇遞迴，簡單，漂亮 */
void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
if (lo >= hi) return;
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
sort(a, lo, mid);
sort(a, mid + 1, hi);
merge(a, lo, mid, hi);
}
看起來簡潔漂亮是一方面，關鍵是 可解釋性很強 ：把左半邊排序，把右半邊排序，最後合併兩邊。而非遞迴版本看起來不知所云，充斥著各種難以理解的邊界計算細節，特別容易出 bug 且難以除錯，人生苦短，我更傾向於遞迴版本。
顯然有時候遞迴處理是高效的，比如歸併排序， 有時候是低效的 ，比如數孫悟空身上的毛，因為堆疊會消耗額外空間，而簡單的遞推不會消耗空間。比如這個例子，給一個連結串列頭，計算它的長度：
/* 典型的遞推遍歷框架 */
public int size(Node head) {
int size = 0;
for (Node p = head; p != null; p = p.next) size++;
return size;
}
/* 我偏要遞迴，萬物皆遞迴 */
public int size(Node head) {
if (head == null) return 0;
return size(head.next) + 1;
}
寫遞迴的技巧
我的一點心得是： 明白一個函式的作用並相信它能完成這個任務，千萬不要試圖跳進細節。 千萬不要跳進這個函式裡面企圖探究更多細節，否則就會陷入無窮的細節無法自拔，人腦能壓幾個棧啊。
先舉個最簡單的例子：遍歷二叉樹。
void traverse(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) return;
traverse(root->left);
traverse(root->right);
}
這幾行程式碼就足以掃蕩任何一棵二叉樹了。我想說的是，對於遞迴函式 traverse(root) ，我們只要相信：給它一個根節點 root ，它就能遍歷這棵樹，因為寫這個函式不就是為了這個目的嗎？所以我們只需要把這個節點的左右節點再甩給這個函式就行了，因為我相信它能完成任務的。那麼遍歷一棵 N 叉數呢？太簡單了好吧，和二叉樹一模一樣啊。
void traverse(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) return;
for (child : root->children) traverse(child);
}
至於遍歷的什麼前、中、後序，那都是顯而易見的，對於 N 叉樹，顯然沒有中序遍歷。
以下 詳解 LeetCode 的一道題來說明 ：給一棵二叉樹，和一個目標值，節點上的值有正有負，返回樹中和等於目標值的路徑條數，讓你編寫 pathSum 函式：
/* 來源於 LeetCode PathSum III： https://leetcode.com/problems/path-sum-iii/ */
root = [10,5,-3,3,2,null,11,3,-2,null,1], sum = 8
10
/ \
5 -3
/ \ \
3 2 11
/ \ \
3 -2 1
Return 3. The paths that sum to 8 are:
1. 5 -> 3
2. 5 -> 2 -> 1
3. -3 -> 11
/* 看不懂沒關係，底下有更詳細的分析版本，這裡突出體現遞迴的簡潔優美 */
int pathSum(TreeNode root, int sum) {
if (root == null) return 0;
return count(root, sum) + pathSum(root.left, sum) + pathSum(root.right, sum);
}
int count(TreeNode node, int sum) {
if (node == null) return 0;
return (node.val == sum) + count(node.left, sum - node.val) +
count(node.right, sum - node.val);
}
題目看起來很複雜吧，不過程式碼卻極其簡潔，這就是遞迴的魅力。我來簡單總結這個問題的 解決過程 ：
首先明確，遞迴求解樹的問題必然是要遍歷整棵樹的，所以 二叉樹的遍歷框架 （分別對左右孩子遞迴呼叫函式本身）必然要出現在主函式 pathSum 中。那麼對於每個節點，它們應該幹什麼呢？它們應該看看，自己和腳底下的小弟們包含多少條符合條件的路徑。好了，這道題就結束了。
按照前面說的技巧，根據剛才的分析來定義清楚每個遞迴函式應該做的事：
PathSum 函式：給它一個節點和一個目標值，它返回以這個節點為根的樹中，和為目標值的路徑總數。
count 函式：給它一個節點和一個目標值，它返回以這個節點為根的樹中，能湊出幾個以該節點為路徑開頭，和為目標值的路徑總數。
/* 有了以上鋪墊，詳細註釋一下程式碼 */
int pathSum(TreeNode root, int sum) {
if (root == null) return 0;
int pathImLeading = count(root, sum); // 自己為開頭的路徑數
int leftPathSum = pathSum(root.left, sum); // 左邊路徑總數（相信他能算出來）
int rightPathSum =
pathSum(root.right, sum); // 右邊路徑總數（相信他能算出來）
return leftPathSum + rightPathSum + pathImLeading;
}
int count(TreeNode node, int sum) {
if (node == null) return 0;
// 我自己能不能獨當一面，作為一條單獨的路徑呢？
int isMe = (node.val == sum) ? 1 : 0;
// 左邊的小老弟，你那邊能湊幾個 sum - node.val 呀？
int leftBrother = count(node.left, sum - node.val);
// 右邊的小老弟，你那邊能湊幾個 sum - node.val 呀？
int rightBrother = count(node.right, sum - node.val);
return isMe + leftBrother + rightBrother; // 我這能湊這麼多個
}
還是那句話， 明白每個函式能做的事，並相信它們能夠完成。
總結下，PathSum 函式提供的二叉樹遍歷框架，在遍歷中對每個節點呼叫 count 函式，看出先序遍歷了嗎（這道題什麼序都是一樣的）；count 函式也是一個二叉樹遍歷，用於尋找以該節點開頭的目標值路徑。好好體會吧！
LeetCode 有遞迴專題練習， 點這裡去做題
遞迴優化
比較 naive 的遞迴實現可能遞迴次數太多，容易超時。
怎麼優化呢？可以使用 搜尋優化 和 記憶化搜尋 。
分治演算法
歸併排序 ，典型的分治演算法；分治，典型的遞迴結構。
分治演算法可以分三步走：分解 -> 解決 -> 合併
- 分解原問題為結構相同的子問題。
- 分解到某個容易求解的邊界之後，進行遞迴求解。
- 將子問題的解合併成原問題的解。
歸併排序，我們就叫這個函式 merge_sort 吧，按照我們上面說的，要明確該函式的職責，即 對傳入的一個陣列排序 。OK，那麼這個問題能不能分解呢？當然可以！給一個陣列排序，不就等於給該陣列的兩半分別排序，然後合併就完事了。
void merge_sort(一個陣列) {
if (可以很容易處理) return;
merge_sort(左半個陣列);
merge_sort(右半個陣列);
merge(左半個陣列, 右半個陣列);
}
好了，這個演算法也就這樣了，完全沒有任何難度。記住之前說的，相信函式的能力，傳給它半個陣列，那麼這半個陣列就已經被排好了。而且你會發現這不就是個二叉樹遍歷模板嗎？為什麼是後序遍歷？因為我們分治演算法的套路是 分解 -> 解決（觸底）-> 合併（回溯） 啊，先左右分解，再處理合並，回溯就是在退棧，就相當於後序遍歷了。至於 merge 函式，參考兩個有序連結串列的合併，簡直一模一樣。
LeetCode 上有分治演算法的專項練習， 點這裡去做題