大整數乘法

現在我們給出兩個數字1234和4321（這兩個數字並不大，以此為例而已），按照我們做乘法的習慣，我們寫成豎式，用1234分別跟4，3，2，1相乘並對應移位相加得到結果，那麼我們在這個過程中用了幾次乘法呢？是4次？不，其實1234跟4相乘是1,2，3,4分別乘4，也是4次乘法，因此一共我們使用了4*4次乘法。

這僅僅是4位，如果是更多，那麼演算法的複雜度無疑是O（n^2），為了提高效率，降低這種複雜度，我們可以使用分治法。

首先，我們將兩個n位大整數X,Y分開，分為四個n/2位的整數，如下：

例如，X=12345678，分成a=123410^4,b=56781；此時的計算效率如下：

利用我們學過的複雜度分析法，其複雜度如下:

根據master定理，複雜度為O(n^2),並沒有改進。

為了降低複雜度，我們必須用加法代替乘法，因此我們修改一下上面式子的形式：


補充：master定理：

程式碼摘自：https://blog.csdn.net/jeffleo/article/details/53446095

#include<cstdio>
#include<cmath>

using namespace std;

#define SIGN(A) ((A > 0) ? 1 : -1) 
int divideConquer(int X, int Y, int n){
    int sign = SIGN(X) * SIGN(Y);
    int x = abs(X);
    int y = abs(Y);
    if(x == 0 || y == 0){
        return 0;
    }else if(n == 1){
        return sign * x * y;
    }else{
        int A = (int) x / pow(10, (int)(n / 2));
        int B = x - A * pow(10, n / 2);
        int C = (int) y / pow(10, (int)(n / 2));
        int D = y - C * pow(10, n / 2);
        int AC = divideConquer(A, C, n / 2);
        int BD = divideConquer(B, D, n / 2);
        int ABDC = divideConquer((A - B), (D - C), n / 2) + AC + BD;
        return sign * (AC * pow(10 , n) + ABDC * pow(10, (int)(n / 2)) + BD); 
    }
}

int main(){
    int x, y, n;
    scanf("%d%d%d", &x, &y, &n);
    printf("x 和 y的乘積為：%d", divideConquer(x, y, n));
}