漢諾塔的圖解遞迴演算法

yinghualeihenmei發表於2024-03-13
圖解遞迴演算法

原文連結：https://www.cnblogs.com/dmego/p/5965835.html

如下圖所示，從左到右有A、B、C三根柱子，其中A柱子上面有從小疊到大的n個圓盤，現要求將A柱子上的圓盤移到C柱子上去，期間只有一個原則：一次只能移到一個盤子且大盤子不能在小盤子上面，求移動的步驟和移動的次數

解：（1）n == 1

　　　　　　第1次 1號盤 A---->C sum = 1 次

(2) n == 2

　　　　　　第1次 1號盤 A---->B

　　　　　　 第2次 2號盤 A---->C

　　　　　　第3次 1號盤 B---->C sum = 3 次

　　（3）n == 3

　　　　　　　　第1次 1號盤 A---->C

　　　　　　　　第2次 2號盤 A---->B

　　　　　　　　第3次 1號盤 C---->B

　　　　　　　　第4次 3號盤 A---->C

　　　　　　　　第5次 1號盤 B---->A

　　　　　　　　第6次 2號盤 B---->C

　　　　　　　　第7次 1號盤 A---->C sum = 7 次

不難發現規律：1個圓盤的次數 2的1次方減1

　　　　　　　2個圓盤的次數 2的2次方減1

3個圓盤的次數 2的3次方減1

。 。 。 。 。

n個圓盤的次數 2的n次方減1

故：移動次數為：2^n - 1

演算法分析（遞迴演算法）：

我們在利用計算機求漢諾塔問題時，必不可少的一步是對整個實現求解進行演算法分析。到目前為止，求解漢諾塔問題最簡單的演算法還是同過遞迴來求，至於是什麼是遞迴，遞迴實現的機制是什麼，我們說的簡單點就是自己是一個方法或者說是函式，但是在自己這個函式里有呼叫自己這個函式的語句，而這個呼叫怎麼才能呼叫結束呢？，這裡還必須有一個結束點，或者具體的說是在呼叫到某一次後函式能返回一個確定的值，接著倒數第二個就能返回一個確定的值，一直到第一次呼叫的這個函式能返回一個確定的值。

實現這個演算法可以簡單分為三個步驟：

　　　　（1） 把n-1個盤子由A 移到 B；

　　　　（2） 把第n個盤子由 A移到 C；

　　　　（3） 把n-1個盤子由B 移到 C；

從這裡入手，在加上上面數學問題解法的分析，我們不難發現，移到的步數必定為奇數步：

　　　　（1）中間的一步是把最大的一個盤子由A移到C上去；

　　　　（2）中間一步之上可以看成把A上n-1個盤子透過藉助輔助塔（C塔）移到了B上，

　　　　（3）中間一步之下可以看成把B上n-1個盤子透過藉助輔助塔（A塔）移到了C上；

    public static void move(int disks,char N,char M)
    {
        System.out.println("第" + (++m) +" 次移動 : " +" 把 "+ disks+" 號圓盤從 " + N +" ->移到->  " + M);
    }
    //遞迴實現漢諾塔的函式
    public static void hanoi(int n,char A,char B,char C)
    {
        if(n == 1)//圓盤只有一個時，只需將其從A塔移到C塔
            TowersOfHanoi.move(1, A, C);//將編b號為1的圓盤從A移到C
        else
        {//否則
            hanoi(n - 1, A, C, B);//遞迴，把A塔上編號1~n-1的圓盤移到B上，以C為輔助塔
            TowersOfHanoi.move(n, A, C);//把A塔上編號為n的圓盤移到C上
            hanoi(n - 1, B, A, C);//遞迴，把B塔上編號1~n-1的圓盤移到C上，以A為輔助塔
        }
    }

　　

圖解程式執行流程：

　　（1）函式hanoi(int n,char A,char B,char C)的功能是把編號為n的圓盤藉助B從A移動到 C上。

　　（2）函式move(int n ,char N ,char M)的功能是把1編號為n的圓盤從N 移到M上

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