【YbtOJ高效進階 遞推-2】奇怪漢諾塔

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YbtOJ高效進階 遞推-2

題目描述

漢諾塔問題，條件如下：

這裡有 A、B、C 和 D 四座塔。
這裡有 n個圓盤， n的數量是恆定的。
每個圓盤的尺寸都不相同。
所有的圓盤在開始時都堆疊在塔 A 上，且圓盤尺寸從塔頂到塔底逐漸增大。
我們需要將所有的圓盤都從塔 A 轉移到塔 D 上。
每次可以移動一個圓盤，當塔為空塔或者塔頂圓盤尺寸大於被移動圓盤時，可將圓盤移至這座塔上。 請你求出將所有圓盤從塔 A 移動到塔 D，所需的最小移動次數是多少。

輸出

對於每一個整數n($1\le n\le 12$) ，輸出一個滿足條件的最小移動次數，每個結果佔一行。

思路

我們先考慮三座塔的情況
肯定是先把$n-1$個盤子放到B塔，然後把最後這個放到C塔，然後再把B塔的這$n-1$個盤子放到C塔
所以很容易得到
$$a_i=2\ast a_{i-1}+1$$
那再來看回原題
四個塔，那我們是否可以視為是獨立一座塔和三座塔的處理呢？
我們列舉一個$j$，表示$j$個盤子放去B塔，然後剩下的再去放，最後再把這$j$個盤子放到D塔
那很顯然，我們用$f_i$表示i個盤子的最少步數
則
$$f_i=\underset{1\le j\le i}{\min }(2\ast f_j+a_{i-j})$$

程式碼

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

int a[15], f[15];

int main() {
    a[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 12; ++i) a[i] = 2 * a[i - 1] + 1;
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[1] = 1;
    for (int i = 1; i <= 12; ++i) {
        for (int j = 0; j <= i; ++j) f[i] = min(2 * f[j] + a[i - j], f[i]);
        printf("%d\n", f[i]);
    }
}