遞迴函式
什麼是遞迴函式
如果一個函式，可以自己呼叫自己，那麼這個函式就是一個遞迴函式。
遞迴，遞就是去，歸就是回，遞迴就是一去一回的過程。
遞迴函式的條件
一般來說，遞迴需要邊界條件，整個遞迴的結構中要有遞迴前進段和遞迴返回段。當邊界條件不滿足，遞迴前進，反之遞迴返回。就是說遞迴函式一定需要有邊界條件來控制遞迴函式的前進和返回。
定義一個簡單的遞迴函式
# 定義一個函式
def recursion(num):
print(num)
if num == 0:
return 'ok'
# 這個函式在自己的作用域中呼叫自己，這個函式就是一個遞迴函式
recursion(num-1)
recursion(10)
"""
結果：
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
"""
程式碼解析
我們執行這個函式，引數給了一個10，但是這個函式執行的過程中，又呼叫了自己，所以現在這個函式就會進入先執行第二次呼叫自己的過程中，第一次的呼叫就暫時的阻斷了；
第二次呼叫的時候，num-1，引數就變成了9，繼續執行，然後就又執行到了呼叫自己的程式碼中，現在就會執行第三次呼叫的過程中，第二次的呼叫也阻斷了；
這就是 遞 的過程；
…………
第十一次呼叫的時候，num-1，層層的巢狀，引數就變成了0，就符合了作用域中的if num == 0的條件判斷式，第十一次的呼叫就沒有再執行到了呼叫自己的程式碼，而是徹徹底底的執行完成了 ，然後程式碼的執行就又回到了第十次的函式呼叫中。
第十次的函式呼叫阻斷的時候是執行到了recursion(num-1)，但是這一行程式碼執行完了，也就是第十一次呼叫執行完了，並且後面也沒有任何程式碼，所以第十次呼叫也結束了，然後就回到了第九次呼叫；然後第八次；再就是第七次，一直到第一次結束，整個函式的執行就結束了；
這就是 歸 的過程。
記憶體棧區堆區
棧區空間就是我們常說的棧，棧是一個有去有回，先進後出後出的空間，就像我們上面的例子中講的，我們最先執行的是函式的第一次呼叫，但是第一次呼叫卻是最後執行釋放掉的，而第十一次呼叫是最後呼叫，最先執行釋放掉的，這就是先進後出。與棧空間概念相違背的是佇列空間，佇列空間是一個有去有回，先進先出的空間，就像我們平時排隊一樣，先排隊的會比後來的人先買到票，之後我們學習併發的時候，我們會詳細的講述佇列的概念。
單獨的講棧堆就是一種資料結構，棧是先進後出的一種資料結構，堆是排序後的一種樹狀資料結構。
棧區堆區是記憶體空間，棧區就是按照先進後出的資料結構，無論建立或銷燬都是自動為資料分配記憶體，釋放記憶體，這是系統自動建立的；堆區就是按照排序後的樹狀資料結構，可優先取出必要的資料，無論建立或者銷燬都是手動分配記憶體，釋放記憶體，這是程式設計工作者手動程式設計出來的。
| 記憶體空間 | 特點 |
|---|---|
| 記憶體中的棧區 | 自動分配，自動釋放 |
| 記憶體中的堆區 | 手動分配，手動釋放 |
執行程式時在記憶體中執行，會因為資料型別的不同而在記憶體的不同區域執行，因不同語言對記憶體劃分的機制不一，當大體來說，有如下四大區域：
- 棧區：分配區域性變數空間；
- 堆區：是用於手動分配程式設計師申請的記憶體空間；
- 靜態區：又稱之為全域性棧區，分配靜態變數，全域性變數空間；
- 程式碼區：又稱之為只讀區、常量區，分配常量和程式程式碼空間；
上面的棧區、讀取、靜態區、程式碼區都只是記憶體中的一段空間。
死遞迴
所以我們在使用遞迴函式的時候要注意，遞迴函式呼叫的過程就是一個開闢棧和釋放棧的過程，呼叫的時候開闢棧空間，結束的時候釋放棧空間，所以說，如果開闢的空間不結束就會一直存在，就會一直佔用記憶體空間，但是棧空間是一個先進後出的空間，如果新開啟的空間不釋放掉，之前的空間也不會釋放掉的，那麼如果我們開闢的空間很多很多，但是又釋放不掉，那麼我們弱小的記憶體是否有足夠的空間容納得下這麼多的棧呢？如果容納不下，那麼我們的計算機就會爆炸，所以我們在使用遞迴的時候要注意避免這種情況。尤其是死遞迴。
每次呼叫函式時，在記憶體宗都會單獨開闢一個空間，配合函式執行，這個空間叫做棧幀空間。
1、遞迴是一去一回的過程，呼叫函式時，會開闢棧幀空間，函式執行結束之後，會釋放棧幀空間，遞迴實際上就是不停地開闢和釋放棧幀空間的過程，每次開闢棧幀空間，都是獨立的一份，其中的資源不共享。
2、觸發回的過程當最後一層棧幀空間全部執行結束的時候，會觸底反彈，回到上一層空間的呼叫處，遇到return，會觸底反彈，回到上一層的呼叫處
3、寫遞迴時，必須給予遞迴跳出的條件，否則會發生記憶體溢位，可能會出現當機的情況，所以當遞迴的層數過多的時候，不建議使用遞迴。
Python中的環境遞迴的層數預設為1000層左右，一般都是996層。
# 下面的遞迴函式沒有跳出遞迴的條件，所以是一個死遞迴，執行看，是不是1000左右。
def recursion(num):
print(num)
recursion(num+1)
recursion(1)
尾遞迴
簡單的來說，在函式返回的時候，呼叫其本身，並且return語句不包含表示式，這樣的一個遞迴函式就是一個尾遞迴函式。
換句話說返回的東西就是函式本身就是尾遞迴函式，而遞迴函式只是自身呼叫了自身而已。
一般情況下，尾遞迴的計算在引數中完成。
我們開始的舉例是一個尾遞迴函式嗎？不是，因為那個例子這是呼叫了自己本省，但是並沒有返回，所以還是一個普通的遞迴函式而已。
使用遞迴的時候，我們通常在一些技術部落格上看到一些關於尾遞迴優化的東西，這是因為尾遞迴無論呼叫多少次函式，都只會佔用一份空間，只開闢一個棧幀空間，但是目前 cpython 不支援，然而最常見的直譯器就是 cpython 。
Python常見的直譯器：cpython、pypy、jpython。
尾遞迴相比普通遞迴的優點就是返回值不需要額外過多的運算。
例項
階乘計算
一個正整數的階乘是所有小於及等於該數的正整數的積，並且0的階乘為1。
""" 迴圈計算 """
def factorial(num):
if num == 0:
return 1
elif num < -1:
return '只能是零和正整數'
count = 1
for i in range(1, num+1):
count *= i
return count
res = factorial(5)
print(res) # 120
""" 使用普通遞迴 """
def factorial(num):
if num == 0:
return 1
elif num < -1:
return '只能是零和正整數'
elif num == 1:
return num
return num * factorial(num-1) # 普通函式返回的是一個表示式
res = factorial(5)
print(res) # 120
""" 使用尾遞迴 """
def factorial(num, count=1):
if num == 0:
return 1
elif num < -1:
return '只能是零和正整數'
elif num == 1:
return count
return factorial(num-1, count*num) # 尾遞迴返回的是一個函式，計算式在引數中運算
res = factorial(5)
print(res) # 120
斐波那契數列
斐波那契數列是以0、1兩個數開頭，從這個數列從第3個數開始，每一個數都等於前兩樹之和。
# 使用迴圈解決
def fibonacci(num):
x, y = 0, 1
if num < 1:
return '輸入大於0的數字'
elif num == 1:
return 0
elif num == 2:
return 1
for _ in range(num-2):
x, y = y, y+x
return y
res = fibonacci(9)
print(res) # 21
""" 使用普通遞迴 """
def fibonacci(num):
if num < 1:
return '輸入大於0的數字'
elif num == 1:
return 0
elif num == 2:
return 1
return fibonacci(num-1) + fibonacci(num-2)
res = fibonacci(9)
print(res) # 21
""" 使用尾遞迴 """
def fibonacci(num, x=0, y=1):
if num < 1:
return '輸入大於0的數字'
elif num == 1:
return x
elif num == 2:
return y
return fibonacci(num-1, x=y, y=(x+y))
res = fibonacci(9)
print(res) # 21