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變換矩陣和動畫
動畫就是不停地將某個東西變換（transform）。例如將三角形不停地旋轉就是一個動畫
和 CSS transform 類似，變換有三種形式：平移、縮放和旋轉。
簡單的變換用普通表示式容易實現，如果事情複雜，比如旋轉後平移，這時就可以使用變換矩陣。
普通表示式
平移
比如要平移一個三角形，只需要將三個頂點移動相同的距離即可（這是一個逐頂點操作）
用二維向量表示，就像這樣：[x1, y1] + [tx1, ty2] = [x2, y2]
比如要實現如下效果：
前面我們已經講過三角形了，這裡不再冗餘，改動的核心程式碼如下：
const VSHADER_SOURCE = `
attribute vec4 a_Position;
+uniform vec4 u_Translation;
void main() {
- gl_Position = a_Position;
+ gl_Position = a_Position + u_Translation;
gl_PointSize = 10.0;
}
`
function main() {
gl.clearColor(0, 0, 0, 1);
gl.clear(gl.COLOR_BUFFER_BIT);
+ const u_Translation = gl.getUniformLocation(gl.program, 'u_Translation');
+ if (!u_Translation) {
+ return;
+ }
+ gl.uniform4f(u_Translation, 0.5, 0.5, 0, 0.0);
+
a_Position 和 u_Translation 都是 vec4 型別，使用 + 號，兩個向量（也稱向量）對應的分量會被同時相加（向量相加是著色器語言的特性之一）。就像這樣：
縮放
以一個點為例，比如要將 A 點縮放到 B 點，乘以一個係數就好，係數小於1表示縮小，係數大於1表示放大：
用二維向量表示，就像這樣：k[x1, y1] = [x2, y2]
旋轉
比如要將 p 點旋轉 β，推匯出來的公式如下：
變換矩陣
概念
變換矩陣（非常適合操作計算機圖形）是數學線性代數中的一個概念。請看下圖：
將點從 S 旋轉到 T，新座標(m, n)可以用普通表示式表示，同樣可以用變換矩陣來表示（舊點 * 變換矩陣 = 新點）
變換矩陣和向量相乘有一個規則，並會得到一個新的向量。
Tip：webgl 中的一個點，在座標系中就相當於一個向量
在 webgl 中變換矩陣和向量相乘的規則如下：
注：牢記公式：變換矩陣 * 向量 會生成一個新的向量；順序不同結果也不同，例如：向量 * 變換矩陣
旋轉
將旋轉的普通表示式轉為變換矩陣：
四維矩陣
為什麼要用四維矩陣？
因為三維矩陣矩陣不夠用，比如將 (0,0,0) 移動到 (1, 0, 0)，用三維矩陣是表示不出來的，而四維卻可以。請看下圖：
平移
將平移的普通表示式轉為變換矩陣：
縮放
將縮放的普通表示式轉為變換矩陣：
手動矩陣
為了更好的理解矩陣。我們先不使用矩陣庫，直接透過 js 來使用矩陣實現變換。
矩陣顛倒
js 中沒有矩陣資料型別，這裡用陣列表示。
比如要表示如下一個平移矩陣：
1, 0, 0, Tx
0, 1, 0, Ty
0, 0, 1, Tz
0, 0, 0, 1
陣列就是這樣：
const matrix = [
1, 0, 0, Tx,
0, 1, 0, Ty,
0, 0, 1, Tz,
0, 0, 0, 1,
]
而要表示如上這個變換矩陣，在 webgl 中就得將陣列顛倒：行變成列。
所以最後就得這麼寫：
const matrix = [
1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 0,
Tx, Ty, Tz, 1,
]
Tip: 對於縮放，顛倒後和顛倒前是相同的。
平移
需求：將三角形向右上角偏移。
效果：
前面我們已經學會畫三角形，筆者在此基礎上改動如下程式碼：
const VSHADER_SOURCE = `
+// mat4 是一種4維矩陣
+uniform mat4 u_xformMatrix;
void main() {
- gl_Position = a_Position ;
+ // 注：必須是 "變換矩陣 * 向量"，不可是 "向量 * 變換矩陣"
+ gl_Position = u_xformMatrix * a_Position ;
gl_PointSize = 10.0;
}
`
function main() {
initVertexBuffers(gl, vertices)
+ 變換(gl)
gl.drawArrays(gl.TRIANGLES, 0, vertices.vertexNumber);
}
+function 變換(gl){
+ const u_xformMatrix = gl.getUniformLocation(gl.program, 'u_xformMatrix');
+ if (!u_xformMatrix) {
+ console.log('Failed to get the storage location of u_xformMatrix');
+ return;
+ }
+ // 四維矩陣
+ const [Tx, Ty, Tz] = [0.5, 0.5, 0];
+ // webgl 中矩陣的行和列是要顛倒的，比如要傳一個 A 矩陣，給 webgl 的A矩陣就得顛倒，也就是將 A 的第一行變為第一列，第二行變成第二列
+ const matrix = new Float32Array([
+ 1, 0, 0, 0,
+ 0, 1, 0, 0,
+ 0, 0, 1, 0,
+ Tx, Ty, Tz, 1,
+ ])
+ // 將矩陣分配給 u_xformMatrix
+ gl.uniformMatrix4fv(u_xformMatrix, false, matrix);
+}
程式碼解析：
- 前面已經說過，變換是一個
逐頂點的操作，每個頂點都相同，所以不用 attribute 而用 uniform mat4表示4*4的矩陣- 向量（新點） =
變換矩陣* 向量（舊點） - gl.uniformMatrix4fv(location, transpose, value) 為 uniform variables 指定矩陣值。webgl 中 transpose 必須為 false.
注：如果改變變換矩陣 * 向量的順序，平移效果就不對了：
矩陣庫
自己手寫矩陣陣列非常麻煩。
openGL 提供了一系列有用的函式幫助我們建立變換矩陣。例如透過 glTranslate 傳入在 x、y、z 上平移的距離，就可以建立一個平移矩陣。
既然 webgl 中未提供建立變換矩陣的函式，我們就使用庫來做這部分工作。
gl-matrix
筆者使用一個較流行的矩陣庫 gl-matrix —— 用於高效能WebGL應用程式的Javascript矩陣和向量（又稱為向量）庫。
下載後，在 dist 目錄下看到 esm 資料夾和兩個 js 檔案：
toji-gl-matrix-4480752/dist (master)
$ ll
drwxr-xr-x 1 Administrator 197121 0 Mar 6 15:26 esm/
-rw-r--r-- 1 Administrator 197121 52466 Jan 10 05:24 gl-matrix-min.js
-rw-r--r-- 1 Administrator 197121 206643 Jan 10 05:24 gl-matrix.js
其實也就是提供兩種使用的方法：
- esm 透過
<script type="module" src="main.mjs"></script>這種方式使用 - 最常見的
<script src="animation.js"></script>
筆者選用第二種：在 html 中引入：<script src="./animation.js"></script>
這時在控制檯就有一個 glMatrix 全域性變數：
glMatrix
{glMatrix: {…}, mat2: {…}, mat2d: {…}, mat3: {…}, mat4: {…}, …}
glMatrix: {EPSILON: 0.000001, ANGLE_ORDER: "zyx", RANDOM: ƒ, setMatrixArrayType: ƒ, …}
mat2: {create: ƒ, clone: ƒ, copy: ƒ, identity: ƒ, fromValues: ƒ, …}
mat2d: {create: ƒ, clone: ƒ, copy: ƒ, identity: ƒ, fromValues: ƒ, …}
mat3: {create: ƒ, fromMat4: ƒ, clone: ƒ, copy: ƒ, fromValues: ƒ, …}
mat4: {create: ƒ, clone: ƒ, copy: ƒ, fromValues: ƒ, set: ƒ, …}
quat: {create: ƒ, identity: ƒ, setAxisAngle: ƒ, getAxisAngle: ƒ, getAngle: ƒ, …}
quat2: {create: ƒ, clone: ƒ, fromValues: ƒ, fromRotationTranslationValues: ƒ, fromRotationTranslation: ƒ, …}
vec2: {create: ƒ, clone: ƒ, fromValues: ƒ, copy: ƒ, set: ƒ, …}
vec3: {create: ƒ, clone: ƒ, length: ƒ, fromValues: ƒ, copy: ƒ, …}
vec4: {create: ƒ, clone: ƒ, fromValues: ƒ, copy: ƒ, set: ƒ, …}
官方文件也是從這幾個模組來介紹的：mat2, mat2d, mat3, mat4, quat, quat2, vec2, vec3, vec4。
mat[234]就是2維3維4維矩陣vec[234]就是2維3維4維向量
四維矩陣
首先取得 mat4 模組，然後呼叫 create() 就會建立一個四維矩陣：
// 四維矩陣模組
const { mat4 } = glMatrix
// 建立一個4維單位矩陣
const matrix = mat4.create()
/*
Float32Array(16) [
1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 1]
*/
console.log(matrix)
Tip: create() 建立的是一個單位矩陣，如同數的乘法中的1
平移矩陣
fromTranslation - 平移矩陣
語法如下：
(static) fromTranslation(out, v) → {mat4}
Creates a matrix from a vector translation This is equivalent to (but much faster than): mat4.identity(dest); mat4.translate(dest, dest, vec);
Parameters:
Name Type Description
out mat4 mat4 receiving operation result
v ReadonlyVec3 Translation vector
Returns:
out
請看示例：
mat4.fromTranslation(matrix, [0.5, 0.5, 0])
/*
Float32Array(16) [
1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 0,
0.5, 0.5, 0, 1
]
*/
console.log(matrix)
matrix 是一個單位矩陣，透過該方法，即可得到一個向 x 和 y 各平移 0.5 的變換矩陣。
與之對應不修改原矩陣的方法是：translate(out, a, v)。語法如下：
(static) translate(out, a, v) → {mat4}
Translate a mat4 by the given vector
Parameters:
Name Type Description
out mat4 the receiving matrix
a ReadonlyMat4 the matrix to translate
v ReadonlyVec3 vector to translate by
Returns:
out
請看示例：
const matrix2 = mat4.create()
mat4.translate(matrix2, matrix, [0.5, 0.5, 0])
// Float32Array(16) [1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1]
/*
Float32Array(16) [
1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 1
]
*/
console.log(matrix)
/*
Float32Array(16) [
1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0,
0, 0, 1, 0,
0.5, 0.5, 0, 1
]
*/
console.log(matrix2)
matrix 沒有改變，最終變換矩陣輸出到 matrix2。
旋轉矩陣
fromRotation - 旋轉矩陣
建立一個旋轉矩陣。請看示例：
// fromRotation(out, rad, axis) - out 是要修改的矩陣、rad 旋轉角度、axis 圍繞哪個軸旋轉 [x, y, z]
const angle = 90
// 角度轉弧度
const rad = angle * Math.PI / 180;
const axis = [0, 0, 1];
// 等於 fromXRotation、fromYRotation、fromZRotation
mat4.fromRotation(matrix, rad, axis)
/*
Float32Array(16) [
6.123234262925839e-17, 1, 0, 0,
-1, 6.123234262925839e-17, 0, 0,
0, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 1
]
*/
console.log(matrix)
與之對應不修改原矩陣的方法是：rotate(out, a, rad, axis)。用法與平移中的類似。
toRadian
旋轉矩陣需要使用弧度，透過 toRadian() 可以將角度轉為弧度。用法如下：
glMatrix.glMatrix.toRadian(180) => 3.141592653589793
縮放矩陣
fromScaling - 縮放矩陣
建立一個縮放矩陣。請看示例：
mat4.fromScaling(matrix, [2, 2, 0])
/*
Float32Array(16) [
2, 0, 0, 0,
0, 2, 0, 0,
0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 1
]
*/
console.log(matrix)
與之對應不修改原矩陣的方法是：scale(out, a, v)。用法與平移中的類似。
平移
現在使用這個庫來實現平移，只需要將手動矩陣替換如下即可：
- const matrix = new Float32Array([
- 1, 0, 0, 0,
- 0, 1, 0, 0,
- 0, 0, 1, 0,
- Tx, Ty, Tz, 1,
- ])
+
+ const { mat4 } = glMatrix
+ const matrix = mat4.create()
+ mat4.fromTranslation(matrix, [Tx, Ty, 0])
旋轉、縮放也類似，不再展開。
組合變換矩陣
變換矩陣可以組合，比如希望將三角形旋轉和平移，這裡需要注意：順序不同導致結果不同。請看下圖
核心程式碼：
const VSHADER_SOURCE = `
attribute vec4 a_Position;
// 移動矩陣
uniform mat4 u_tformMatrix;
// 旋轉矩陣
uniform mat4 u_rformMatrix;
void main() {
// 先旋轉後移動
// gl_Position = u_tformMatrix * u_rformMatrix * a_Position;
// 先移動後旋轉
gl_Position = u_rformMatrix * u_tformMatrix * a_Position;
gl_PointSize = 10.0;
}
`
const u_rformMatrix = gl.getUniformLocation(gl.program, 'u_rformMatrix');
const u_tformMatrix = gl.getUniformLocation(gl.program, 'u_tformMatrix');
const { mat4 } = glMatrix
const tMatrix = mat4.create()
const rMatrix = mat4.create()
mat4.fromTranslation(tMatrix, [0.5, 0, 0])
// 設定移動矩陣
gl.uniformMatrix4fv(u_tformMatrix, false, tMatrix);
const rad = glMatrix.glMatrix.toRadian(90)
const axis = [0, 0, 1];
mat4.fromRotation(rMatrix, rad, axis)
// 設定旋轉矩陣
gl.uniformMatrix4fv(u_rformMatrix, false, rMatrix);
組合變換矩陣的順序和 css 類似，從右往左。比如：
u_rformMatrix * u_tformMatrix * a_Position先移動後旋轉u_tformMatrix * u_rformMatrix * a_Position先旋轉後移動
Tip: 這裡的組合變換矩陣其實就是計算機圖形學中模型變換(M)。還有檢視變換(V)、投影變換(P)，統稱為 MVP。
動畫
需求
需求：繪製一個旋轉動畫
效果如下：
實現
思路：
- 首先繪製三角形
- 透過變換矩陣進行旋轉
- 不停的繪製（改變旋轉角度）。使用專門用於動畫的requestAnimationFrame（用法類似 setTimeout，但不需要指定回撥時間，瀏覽器會在最恰當的時候回撥）
完整程式碼如下：
const VSHADER_SOURCE = `
attribute vec4 a_Position;
// 所有頂點移動位置都相同，所以不用 Attribute 而用 uniform
// mat4 是一種4維矩陣
uniform mat4 u_xformMatrix;
void main() {
// 注：必須是 "變換矩陣 * 向量"，不可是 "向量 * 變換矩陣"
gl_Position = u_xformMatrix * a_Position ;
gl_PointSize = 10.0;
}
`
const FSHADER_SOURCE = `
void main() {
gl_FragColor = vec4(1.0, 0.0, 0.0, 1.0);
}
`
function main() {
const canvas = document.getElementById('webgl');
const gl = canvas.getContext("webgl");
if (!gl) {
console.log('Failed to get the rendering context for WebGL');
return;
}
if (!initShaders(gl, VSHADER_SOURCE, FSHADER_SOURCE)) {
console.log('Failed to intialize shaders.');
return;
}
const vertices = {
data: new Float32Array([
0.0, 0.5,
-0.5, -0.5,
0.5, -0.5
]),
vertexNumber: 3,
count: 2,
}
initVertexBuffers(gl, vertices)
tick(gl, vertices)
}
function initVertexBuffers(gl, { data, count }) {
// 1. 建立緩衝區物件
const vertexBuffer = gl.createBuffer();
if (!vertexBuffer) {
console.log('建立緩衝區物件失敗');
return -1;
}
gl.bindBuffer(gl.ARRAY_BUFFER, vertexBuffer);
gl.bufferData(gl.ARRAY_BUFFER, data, gl.STATIC_DRAW);
const a_Position = gl.getAttribLocation(gl.program, 'a_Position');
if (a_Position < 0) {
console.log('Failed to get the storage location of a_Position');
return -1;
}
gl.vertexAttribPointer(a_Position, count, gl.FLOAT, false, 0, 0);
gl.enableVertexAttribArray(a_Position);
}
function 變換(gl, vertices) {
const u_xformMatrix = gl.getUniformLocation(gl.program, 'u_xformMatrix');
if (!u_xformMatrix) {
console.log('Failed to get the storage location of u_xformMatrix');
return;
}
const { mat4 } = glMatrix
const matrix = mat4.create()
const rad = glMatrix.glMatrix.toRadian(angle)
const axis = [0, 0, 1];
mat4.fromRotation(matrix, rad, axis)
gl.uniformMatrix4fv(u_xformMatrix, false, matrix);
gl.clearColor(0, 0, 0, 1);
gl.clear(gl.COLOR_BUFFER_BIT);
gl.drawArrays(gl.TRIANGLES, 0, vertices.vertexNumber);
}
let angle = 0
// 每次改變的角度
const seed = 1
function tick(gl, vertices){
變換(gl, vertices)
// 改變角度
angle += seed;
// 動畫繪製
requestAnimationFrame(() => tick(gl, vertices))
}
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