\(l_{ij}\) 是兩個座標系的旋轉矩陣，為正交矩陣。
\[e_i^{\prime}=l_{ij}e_j
\]
對於在座標系{e}中存在的向量 u 和v 存在關係
\[u_i=a_{ij}\nu_j
\]
其在座標系\(\{e^{\prime}\}\)存在關係
\[u'_i=a'_{ij}\nu'_j
\]
那麼
\[\vec{v}=v_i^{\prime}l_{ij}\vec{e}_j
\]
\[v_j=v_i^{\prime}l_{ij}=l_{ij}v_i^{\prime}
\]
代入得
\[\{u'\}= [Q]\{u\}\\
\qquad =[Q][a]\{v\} \\
\qquad =[Q][a][Q]^T\{v'\}
\]
和（3）比較
\[[a']=[Q][a][Q]^T
\]
同理可得
\[[a]=[Q]^T[a][Q]
\]